No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito útil no nosso cotidiano



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Encontro05.02.2019
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No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito útil no nosso cotidiano. No trabalho com a Matemática financeira podemos perceber a importância do estudo de progressões geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares. No entanto, praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu dia-a-dia e este ponto se torna fundamental, pois transforma o estudo de Progressões Geométricas algo extremamente aplicável.

O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês, corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos são iguais. A taxa é dada em termos anuais; as prestações são mensais e no cálculo é utilizada a taxa proporcional. Nestes empréstimos, os juros são cobrados sobre o saldo devedor, logo o sistema de juros é o composto.


A idéia essencial neste contexto é descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos.
Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre uma casa para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de R$6.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) desta casa?

O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.


A1 = 6000/(1+0,1)1

A2 = 6000/(1+0,1)2

A3 = 6000/(1+0,1)3

A4 = 6000/(1+0,1)4


Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais
A = 6000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)

A = 6000 x 3,169865435 = 19 019,19

que é o valor à vista que custa a casa.
Observamos aqui o aparecimento da expressão:
( 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4 )

que representa a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) com 4 termos.


Generalizando, vamos considerar um financiamento cujo Valor Atual (A), na data inicial (tempo=0) será pago em n prestações iguais a P ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

O problema é semelhante ao anterior e pode ser resolvido matematicamente, como :


A = P[(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n]

Colocando em evidência o termo (1+i)-n, temos:


A = P[1+(1+i)1+...+(1+i)n-1]/(1 +i)n

e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).


A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.

Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o valor de cada prestação P é bastante fácil obter o Valor Atual A.


Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação P e o número de períodos n, não é tão fácil obter a taxa de juros, porque, além de ser matematicamente mais difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa.


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