1ª Use as identidades entre conjuntos para determinar se a seguinte afirmação é verdadeira: Sejam a e b conjuntos arbitrárias



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1ª) Use as identidades entre conjuntos para determinar se a seguinte afirmação é verdadeira: Sejam A e B conjuntos arbitrárias, então,
(A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B – A)
2ª) Se A é enumerável e B é não enumerável então A ∩ B é enumerável?
3ª) Encontre o menor inteiro n de forma que f(x) é O(xn) para cada uma das seguintes funções. Justifique cada resposta (resposta sem justificativa não é considerada).

a) f(x) = 2x2 + x3log x b) f(x) = x⌡ + ‪‪‪‪‪ x ‫

4ª) Use indução matemática para provar que
1 + 3 + 9 + 27 + ... + 3n-1 = (3n – 1) / 2
Considerando n inteiro positivo
5ª) Determine se cada umas das seguintes sentenças é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta. As provas utilizadas como justificativa não devem usar diagramas de Venn.


  1. Sejam, A, B e C conjuntos arbitrários. Então A – (B ∩ C) = (A – B) U (A – C).

  2. Sejam, A, B e C conjuntos arbitrários, temos que B C Ā U (A ∩ B) sempre é verdade.

  3. Sejam, A, B e C conjuntos arbitrários. Se B não é enumerável e Ā é enumerável, então (A ∩ B) não é enumerável.

  4. Se f e g são funções injetoras e é possível construir f o g, então nem sempre é verdade que f o g é injetora.

6ª) De quantas maneiras você pode sentar 12 pessoas em duas mesas redondas com

6 lugares em cada? Pense nas possíveis maneiras de definir quando dois assentamentos

são diferentes, e encontre a resposta para cada um.


7ª)Seja B um subconjunto de A, tal que |A| = n e |B| = k. Qual a quantidade de

subconjuntos de A cuja intersecção com B tem 1 elemento?


8ª) Se A é um conjunto incontável e B é um conjunto contável, a diferença A – B é

obrigatoriamente incontável?


9ª) Determine se as seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique

cada resposta.

a) Sejam A e B conjuntos arbitrários e o conjunto das partes de A é

subconjunto do conjunto das partes de B. Logo, podemos concluir que

A é subconjunto de B.

b) Sejam A, B e C conjuntos arbitrários, então (A - B) - C = (A - C) - (B - C)

c) Se f e f o g são funções injetoras então g é injetora também.

d) Se n é um inteiro então ‪.n/2 ‫ +  n/2⌡.

10ª) Use indução matemática para provar que F5n é divisível por 5, para n > 1.
11ª) Use indução matemática para provar que para n inteiro a seguinte equação é verdadeira.

1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1).


12ª)Uma progressão geométrica é uma seqüência de termos onde existe um termo inicial a, e cada termo subseqüente é obtido pelo produto do anterior por um valor constante r. Use indução matemática para provar que a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma seqüência geométrica (n >1) é:
a + ar + ar2 +... + arn-1 = (a – arn) / (1 – r) .
13ª) Use as identidades entre conjuntos para provar as seguintes equações entre conjuntos arbitrários A, B e C.

  1. (A U B) ∩ (A U B’) = A

  2. (A – C) ∩ (C – B) = Ø

14ª) Determine se a relação em N x N x N definida por (a,b,c) R (d,e,f) se e somente se

(a = d) ^ ((b+f) =(c+e)) é uma relação de equivalência. Justifique sua resposta mostrando demonstrações (provas).
15ª) Prove por indução matemática que para n > 4 temos que n2 > 3n.
16ª) Prove por indução a seguinte identidade:

F2 + F4 + F6 ... + F2n = F2n+1 - 1


17ª) Prove por indução as seguintes identidades:

a) 1² + 2² + 3² + … + n² = n (n + 1)(2n + 1)/6

b) 1² + 3² + 5² + … + (2n + 1)² = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3
18ª) Use indução matemática para provar que F5n é divisível por 5, para n >=1.
19ª) Prove que F1 + F3 + … + F2n - 1 = F2n.
20ª) Prove que para quaisquer três conjuntos A, B, C,

((A-B) U (B-A)) ∩ C = ((A ∩ C) U (B ∩ C)) – (A ∩ B ∩ C)


21ª) Seja B um subconjunto de A, |A| = n, |B| = k. Qual é o número de todos os subconjuntos de A cuja interseção com B tem 1 elemento?
22ª) Forme a diferença simétrica de A e B , para obter um conjunto C. Forme a diferença simétrica de A e C. Que conjunto você obtém?

23ª) Prove a seguinte identidade

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + (n-1)*n = (n-1) * n * (n+1)

3

24ª) Prove que a soma dos n primeiros quadrados



(1+4+9+...+n²) = n*(n+1)*(2n+1)/6
25ª) Ha uma classe em que todos são rapazes. Existem 18 rapazes que gostam de jogar xadrez, 23 gostam de jogar futebol, 21 gostam de ciclismo e 17 gostam de alpinismo. O n´umero daqueles que gostam de jogar xadrex e futebol ´e 9. Existem 7 rapazes que gostam de jogar xadrez e de ciclismo, 6 rapazes que gostam de xadrez e alpinismo, 12 deles gostam de futebol e de ciclismo, 9 rapazes gostam de futebol e de alpinismo, e finalmente 12 deles gostam de ciclismo e de

alpinismo. Existem 4 rapazes que gostam de xadrez, futebol e alpinismo, 3 que gostam de xadrez, futebol e alpinismo, 5 que gostam de xadrez, ciclismo e alpinismo, e 7 que gostam de futebol, ciclismo e alpinismo. Finalmente existem 3 rapazes que gostam de todas as quatro atividades.

Adicionalmente, sabemos que todo mundo gosta de alguma dessas atividades. Quantos rapazes existem na classe?
26ª) Qual é o resultado da seguinte soma?

0 * Cn,0 + 1 * Cn,1 + 2 * Cn,2 + ... + (n-1) * Cn,n-1 + n * Cn,n

Experimente, conjecture o valor(ou fórmula), e então prove. (Tente provar o resultado por indução e também por argumentos combinatórios).
27ª) Prove(por indução sobre n) que

a) n² - 1 é um múltiplo de 4 se n for ímpar



b)n³ - n é um múltiplo de 6 para todo n
28ª) Selecionamos 38 inteiros positivos pares, todos menores que 1000. Prove que haverá dois deles cuja diferença é no máximo 26.


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