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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

DIRETORIA DE PESQUISA


PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – PIBIC : CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR, PARD, PIAD, PIBIT, PADRC E FAPESPA

RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO
Período : Agosto/2015 a Fevereiro/2016

(x) PARCIAL

( ) FINAL

IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO

Título do Projeto de Pesquisa: Aplicação do Filtro de Kalman, análise multivariada e de Mapas auto organizáveis em Dados de Imagem Funcional por Ressonância Magnética.


Nome do Orientador: Valcir João da Cunha Farias.
Titulação do Orientador: Doutor.
Faculdade: Estatística.
Instituto/Núcleo: Instituto de Ciências Exatas e Naturais (ICEN).
Laboratório: Laboratório de Avaliação e Medidas (LAM).
Título do Plano de Trabalho: Aplicação do filtro estendido de Kalman e filtro de Kalman “Unscented” para análise de dados de fMRI.
Nome do Bolsista: Alice Nabiça Moraes.
Tipo de Bolsa : ( ) PIBIC/ CNPq

( x ) PIBIC/CNPq – AF

( )PIBIC /CNPq- Cota do pesquisador

( ) PIBIC/UFPA

( ) PIBIC/UFPA – AF

( ) PIBIC/ INTERIOR

( )PIBIC/PARD

( ) PIBIC/PADRC

( ) PIBIC/FAPESPA

( ) PIBIC/ PIAD



1-INTRODUÇÃO
A Imagem Funcional por Ressonância Magnética (fMRI) é uma técnica de neuroimagem que, se utiliza da tecnologia de ressonância magnética (MR), aplicada no monitoramento da atividade cerebral para o diagnóstico e controle de doenças, mapeamento pré-cirúrgico, diagnóstico de doenças cerebrais, monitoramento de tumores, cronometria mental, dentre outras [2,3,4]. A fMRI é muito utilizada por ser uma técnica não invasiva e de boa resolução espaço-temporal.

A aquisição de imagens é feita através de um exame com um voluntário/paciente que recebe estímulos para a ativação da parte cerebral a ser estudada. Quando há estimulo, é realizada a troca do sangue venoso, deoxihemoglobina, pelo sangue arterial, a oxihemoglobina (oxyHb-hemoglobina oxigenada),que funciona como um contraste natural denominado efeito BOLD (do inglês, Blood Oxygenation Level Dependent).

Na década de noventa, Seiji Ogawa et al. demonstraram que a hemoglobina deoxigenada (dHb - hemoglobina pobre em oxigênio) que, tem propriedades paramagnéticas, fortemente detectáveis no aparelho de RM funciona como um contraste natural denominado efeito BOLD, nível dependente da oxigenação sanguínea (do inglês, Blood Oxygenation Level Dependent). Em 1992, Kenneth Kwong et al utilizaram do contraste BOLD para desenvolver técnicas não-invasiva na obtenção de mapas tomográficos da atividade do cérebro humano, utilizando paradigmas de estímulo visual e motor.

Em Friston et al. (1994) é apresentado um modelo linear das respostas hemodinâmicas em fMRI de séries temporais, em que a atividade neuronal é convertida em uma função resposta hemodinâmica. Em 1998, Friston et al. que estendeu este modelo linear para cobrir as não-linearidades dos sinais utilizando a expansão em série Volterra. No mesmo ano, Buxton et al. desenvolveram um modelo baseado nas mudanças no fluxo sanguíneo transformando-as no sinal BOLD.

Utilizando a estimação Baysiana, Friston et al. no ano de 2002, chegaram a conclusão de que prioris nos parâmetros fisiológicos apresentam desempenho similares as funções de bases temporais em analises convencionais.

Em 2009 Zhenghui Hu et al., utilizaram o Filtro de Kalman Unscented (FKU) para fazer a estimação dos parâmetros fisiológicos do modelo hemodinâmico de respostas em fMRI.

Para o desenvolvimento deste artigo, foram pesquisados diversos trabalhos voltados para a detecção das regiões ativas do cérebro aplicando métodos como: Estimação Bayesiana[8], Modelo Linear Generalizado[6],entre outros. Estes métodos tinham como objetivo fazer uma análise qualitativa dessas regiões para detectar áreas de ativação do cérebro no momento do estímulo.A aquisição de imagens é feita através de um exame com um voluntário ou paciente que recebe estímulos para a ativação da parte cerebral a ser estudada. Como o sangue tem propriedades magnéticas, quando há estimulo, há a troca do sangue venoso, denominado de deoxihemoglobina, pelo sangue arterial, a oxihemoglobina(hemoglobina oxigenada), ocasionando, o já citado anteriormente, efeito BOLD.

No entanto, Buxton-Friston[7,9] desenvolveram um modelo hemodinâmico que descreve o acoplamento dinâmico da atividade sináptica dos sinais de fMRI. O modelo busca estimar os fenômenos fisiológicos (parâmetros) que ocorrem na ativação cerebral durante o estimulo, como o aumento do volume sanguíneo cerebral, do fluxo sanguíneo e a quantidade de deoxihemoglobina. A partir do modelo de Buxton-Friston pode-se, então, fazer uma análise quantitativa do sinal BOLD. Para a assimilação dos parâmetros gerados a partir do sinal BOLD, o filtro de Kalman foi utilizado.




2-JUSTIFICATIVA
O filtro de Kalman (Kalman, 1960) tornou-se uma das ferramentas de estimação mais utilizadas em estudos científicos por ser um estimador ótimo para modelos lineares estocásticos. Por minimizar o erro quadrático, o conjunto de equações, que constituem o filtro de Kalman, forma um processo recursivo eficiente de estimação. Este procedimento é aplicado em modelos na forma espaço-estado, que é a estimação da variável de estado (não observável), pela observação da variável de observação. Pode-se, também, com o filtro de Kalman estimar parâmetros desconhecidos do modelo através da estimação por máxima verossimilhança através da decomposição do erro de previsão [5].

Para a aplicação do filtro de Kalman, o modelo tem que ser linear e o resíduo Gaussiano. No entanto, muitas equações fogem dessa regra quando: as matrizes são estocásticas; quando o modelo não é mais Gaussiano; quando a equação de medição não é linear [5]. Para esses casos de sistemas não-lineares discretos é utilizada uma variação do filtro chamada: Filtro de Kalman Estendido. A técnica consiste na linearização do modelo composto em duas fases: a fase de predição (estimativa precedente), e a fase de correção (estimativa predita) e da integração de suas observações para a correção da estimativa e das covariâncias[3].

Uma outra técnica também utilizada para a resolução desses problemas apresentados é o Filtro de Kalman Unscented, uma extensão do EKF, que se utiliza da transformação unscented (UT), proposta Julien y Uhlmann[10] e aperfeiçoada por Wan y van der Merwe[11], para melhorar as aproximações feitas dos primeiros momentos de uma variável aleatória que resulta em propagar outra variável aleatória (provável gaussiana) através de uma transformação não linear[9].

O EKF e o UKF são métodos de fácil implementação, aplicação em tempo real, sequencial e recursivos[8], encaixando-se no problema de não linearidade e estimação dos parâmetros.



3-OBJETIVOS:


      • Estudar fMRI e o modelo Hemodinâmico de Buxton-Friston

      • Estudar Extended Kalman-Bucy Filter (EKBF)

      • Estudar Unscented Kalman-Bucy Filter (UKBF)

      • Implementação e aplicação de algoritmos de EKBF e UKBF para a assimilação dos parâmetros do modelo hemodinâmico de Buxton-Friston

      • Utilizar o software MATLAB.


4-MATERIAIS E MÉTODOS:

Modelo Hemodinâmico de Buxton-Friston

Com o intuito de buscar métodos quantitativos para simular o efeito BOLD, Buxton e Frinston criaram o modelo a seguir:







Onde é o fluxo cerebral sanguíneo é o volume sanguíneo cerebral; é a quantidade de deoxihemoglobina nas veias cerebrais; é a entrada externa; reflete o sinal de decaimento ; é a constante do tempo auto regulação de retorno; é o tempo de transição; é a eficácia neuronal ; representa a extração e fração de oxigênio ; é o parâmetro de rigidez.

Para facilitar a resolução do sistema do modelo, introduzirmos uma nova variável . Assim, teremos um sistema de quatro equações de primeira ordem:

Além disso, a saída do sinal BOLD pode ser expressa por:



,

onde ; é a fração do volume sanguíneo em repouso.

O modelo de Buxton- Friston e saída do sinal BOLD podem ser escritos como os seguintes vetores e com seus respectivos erros:

; ,

o
Tabela1-Valores típicos dos parâmetros do modelo hemodinâmico




nde e são equações não lineares,é o sistema das variáveis de estado, é o sistema de parâmetros com os valores definidos pelas médias, é o sistema de entrada, é o ruído causado por distúrbios e erros de modelagem, é o vetor de observação, e é o ruído no sinal medido.

Método de Runge-Kutta

O método de Runge-Kutta é usado para aproximações de soluções de EDO’s de primeira ordem. Fazendo-se várias avaliações da função a cada passo. Estes métodos podem ser construídos para qualquer ordem [7]. O método de Runge-Kutta de quarta ordem utilizado foi:



,

onde, .





Filtro de Kalman Estendido

O filtro de Kalman estendido possui duas fases, parte de previsão e a parte de assimilação dos dados.

Dado o seguinte sistema não-linear, descrito pela equação de diferenças e o modelo de observação com ruído[5]:

,

.

-Previsão

O vetor é um vetor aleatório onde o valor esperado é ; e a covariância é .

Com algumas operações valor previsto fica o valor aproximado de é dado por:



.

O erro predito aproximado fica definido por:



.

A covariância do erro é:



,

onde é a matriz jacobiana da equação dada por:



.

-Assimilação

O valor de estimado é:

.

O erro aproximado no valor estimado de é:



.

E a covariância posterior da nova estimativa é:



,

onde é a matriz jacobiana da equação dada por:



.

Filtro de Kalman Unscented

-Transformação Unscented


Foi proposta para calcular os primeiros momentos de uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória [12].

  • A partir de um vetor com n dimensões com média e covariância conhecidas e dada uma transformação não linear de , pretende-se estimar a média e a covariância de ( e ) .

  • Calculam-se sigma-pontos dos vetores .

,

onde é a raíz quadrada da matriz tal que é fila i-ésima de .



  • Transformam-se os sigmas-pontos:



  • Se aproximam a média e a covariância:

;

.
-Filtro de Kalman Unscented
Dado o seguinte sistema não-linear em tempo discreto -dimensional:



,



.

As condições iniciais do filtro de Kalman “unscented” são o valor esperado e a covariância .


As equações a seguir são usadas para a propagação do estado estimado e a covariância de uma medida a outra.

1.É escolhido o sigma-ponto associado ao e , a partir das observações disponíveis até o tempo :



.

2. Usa-se a equação não linear para transformar os sigma-pontos em vetores de :



.

3. Os vetores de se combinam pra que seja obtida a estimação a priori do estado no instante:



.

4. Estima-se a covariância a priori:



.

A atualização de é dada por:



  1. É escolhido os sigma-pontos associados a e :

.

  1. Usa-se a equação não linear para transformar os sigma-pontos em vetores de :

:

  1. Se combinam os vetores de para obter as medidas no tempo :

.

  1. Se estima a covariância do erro por:

.

  1. Estima-se a covariância cruzada entre e :

.

  1. A atualização dos estimadores é realizada utilizando as equações do filtro de Kalman:

;

;

.

5-RESULTADOS :

A partir dos valores típicos dos parâmetros do modelo hemodinâmico de Buxton-Frinston, apresentados na Tabela 1, do sinal de entrada (Figura 1) e da solução do sistema de equações diferencias (equações (1), (2) e (3)), usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, pôde-se gerar as mudanças de fluxo sanguíneo, volume de sangue venoso e a quantidade de deoxihemoglobina na veias cerebrais apresentadas na Figura 2.



A partir da obtenção de f, v e q, é gerado o sinal BOLD no decorrer do tempo, sendo este denominado de função resposta hemodinâmica - HRF (Figura 3). O HRF foi contaminado com ruído branco gaussiano com média 0 e desvio padrão 0,316 como apresentada no Figura 4.

A assimilação dos parâmetros dos sinais gerados com ruído foi feita com o Filtro de Kalman Estendido com as aproximações iniciais dos parâmetros apresentados na Tabela 2. A assimilação dos parâmetros do sinal com ruído pelo FKE foi boa. Os parâmetros, foram bem aproximados como mostram as Figura 5, 6 e 7. Por consequência a estimação do HRF (Figura 8) a partir do HRF ruidoso gerado foi boa também.



Entretanto, o FKE apenas recupera os parâmetros principais f, v e q não conseguindo estimar os demais parâmetros fisiológicos, como por exemplo: o tempo de transição, eficácia neuronal ou a extração e fração de oxigênio.

Tabela 1 – Aproximação inicial dos valores dos parâmetros


Parâmetros



















Aproximação inicial

0

1,0000

1,0000

1,0000

0,5350

0,6601

0,4057

0,9900

0,3500


6-PUBLICAÇÕES:
Publicado no IASC-ABE Satellite Conference of ISI 2015.
7-ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS NOS PRÓXIMOS MESES

-Implementação do algoritmo do EKU.

-Aplicação nos dados fMRI.

-Utilização do software Matlab para gerar os resultados.

-Análise dos dados obtidos.



8-Conclusão

A solução do modelo hemodinâmico de Buxton-Friston (B-F) foi feita utilizando o método de Runge-Kutta de 4° ordem para a sua aproximação numérica gerando, assim, o sinal BOLD. Com a resolução do sistema de equações e dos sinais de entrada, foram gerados os sinais referentes às mudanças fisiológicas ocorridas no momento da ativação cerebral. Assim, o sinal BOLD através do tempo (HRF) foi construído.

O sinal HRF foi contaminado com ruído branco gaussiano com média 0 e desvio padrão 0,316. A assimilação dos parâmetros dos sinais gerados com e sem ruído foi feita com o Filtro de Kalman Estendido. Foram apresentadas apenas os resultados do sinal com ruído.

A assimilação dos parâmetros do sinal sem e com ruído pelo FKE foi boa. Contudo, o FKE apenas recuperou os parâmetros principais f, v e q não conseguindo estimar os demais parâmetros fisiológicos, como por exemplo: o tempo de transição, eficácia neuronal ou a extração e fração de oxigênio.

Para a continuação do trabalho, pretende-se aplicar o FKU para a tentativa de recuperação de todos os parâmetros do modelo hemodinâmico, comparando a eficiência da utilização dos filtros para a estimação.
8-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Hu, Z. H.; Zhao, X.;Liu, H.; Shi, P., Nonlinear Analysis of the BOLD Signal. Journal on Advances in Sinal Processing, 2009.

[2] Seminário Valéria CAP7. USP, 2013. http://wiki.icmc.usp.br/images/3/39/SeminarioValeriaCAP7.pdf.

[3]Freitas, A. A.; Borges,G.A.; Bauchspiess, A.;Avaliação do filtro de Kalman estendido para estimação de parâmetros de processo de nível de líquidos; -2004.

[4] Cooley Junior, P.; Filtro de Kalman aplicado a dados fMRI; Dissertação de Mestrado, PPGME-ICEN-UFPA,2010.

[5]Aiube, F. A. L.; Modelagem dos preços futuros de commodities: abordagem pelo filtro de partículas/ Rio de Janeiro : PUC-Rio, Departamento de Engenharia Industrial, 2005.

[6] K. J. Friston, A. Mechelli, R. Turnet and C. J. Price, NonLinear response in fMRI: the balloon model, volterra kernels, and other hemodynamics. Neuroimage, Vol. 12, no 4, p. 466-477, 2000.

[7] Valle, K. N. F.; Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta. Monografia, UFMG,2012.

[8] CHIARADIA, A. P. M.; KUGA, H. K.; MASAGO B. Y. P. L.; 2013-ANÁLISE DO FILTRO DE KALMAN ESTENDIDO PARA DETERMINAÇÃO DE ÓRBITA A BORDO CONSIDERANDO ARCOS CURTOS; ENDEREÇO: http://www.sbai2013.ufc.br/pdfs/5853.pdf

[9]Pascual, A.- EKF y UKF: dos extensiones del filtro de Kalman para sistemas no lineales aplicadas al control de un péndulo invertido. Monografia, Instituto de Ingeniería Eléctrica - Facultad de Ingeniería – UDELAR, 2006.

[10] S. J. Julier , J. K. Uhlmann. “A New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems”. In Proc. of AeroSense: The 11th Int. Symp. On Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls., 1997.

[11] E. A. Wan, R. van der Merwe. “The Unscented Kalman Filter for Nonlinear Estimation”

[12] J. L. G. Bruque. “Filtros de Kalman Extendido y ‘Unscented’ en Sistemas Estocásticos no Lineales con Observaciones Inciertas”.



DIFICULDADES - Relacionar os principais fatores negativos que interferiram na execução do projeto.


PARECER DO ORIENTADOR: Manifestação do orientador sobre o desenvolvimento das atividades do aluno e justificativa do pedido de renovação, se for o caso.
DATA : ______/_________/________

_________________________________________

ASSINATURA DO ORIENTADOR

____________________________________________

ASSINATURA DO ALUNO

INFORMAÇÕES ADICIONAIS: Em caso de aluno concluinte, informar o destino do mesmo após a graduação. Informar também em caso de alunos que seguem para pós-graduação, o nome do curso e da instituição.

FICHA DE AVALIAÇÃO DE RELATÓRIO DE BOLSA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
O AVALIADOR DEVE COMENTAR, DE FORMA RESUMIDA, OS SEGUINTES ASPECTOS DO RELATÓRIO :


  1. O projeto vem se desenvolvendo segundo a proposta aprovada? Se ocorreram mudanças significativas, elas foram justificadas?



  1. A metodologia está de acordo com o Plano de Trabalho ?



  1. Os resultados obtidos até o presente são relevantes e estão de acordo com os objetivos propostos?



  1. O plano de atividades originou publicações com a participação do bolsista? Comentar sobre a qualidade e a quantidade da publicação. Caso não tenha sido gerada nenhuma, os resultados obtidos são recomendados para publicação? Em que tipo de veículo?



  1. Comente outros aspectos que considera relevantes no relatório



  1. Parecer Final:

Aprovado ( )

Aprovado com restrições ( ) (especificar se são mandatórias ou recomendações)

Reprovado ( )


  1. Qualidade do relatório apresentado: (nota 0 a 5) _____________

Atribuir conceito ao relatório do bolsista considerando a proposta de plano, o desenvolvimento das atividades, os resultados obtidos e a apresentação do relatório.

Data : _____/____/_____.


________________________________________________

Assinatura do(a) Avaliador(a)










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