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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – CCE

NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA ESPECIAL

SISTEMAS DINÂMICOS E O CAOS DETERMINÍSTICO

Informações em http://www.mat.uel.br/plnatti/index-didaticas-atuais.htm


Prof. Paulo Laerte Natti – Depto de Matemática - sala 15

9ª AULA

Transcrição: Danilo Toscano



9. SEÇÕES DE POINCARÉ
Sistemas físicos são descritos por um conjunto de n EDO’s de 1ª ordem

(1)


onde

é um vetor de (espaço de fase). é um campo vetorial deste espaço. Ou seja,







EXEMPLO: Oscilador de Van der Pol

Fazendo a mudança de variáveis



Matricialmente,

Alternativamente,



(2)



Observação:


  • Sistemas de EDO’s que têm a forma (2) são chamados de fluxo em ;

  • Quando o campo vetorial não depende explicitamente do tempo, , então o fluxo é dito autônomo (Ex: sistema de van der Pol). Caso contrário ele é dito não autônomo. Ex: sistema de Mathieu, .

Na maioria dos estudos que realizamos:

  • Não é possível resolver analiticamente o sistema (2);

  • A construção das trajetórias no espaço de fase pode ser difícil senão impossível.

Nestes casos, Henri Poincaré propôs um método, conhecido como o Método das Seções de Poincaré ou Método das Seções de Corte de Poincaré.

Considere um sistema de 3 equações acopladas em . Considere uma trajetória no espaço.Considere os pontos da interseção desta trajetória com um plano, somente aqueles pontos cuja interseção se dá num sentido escolhido.

Por exemplo, considere o plano x3 = h = cte. e os pontos que cortam este plano com a condição . Dada uma condição inicial, o conjunto de pontos Pi formam a seção ou corte de Poincaré, ou seja, um mapa em 2 dimensões.






Figura 1: A trajetória  dada pela condição inicial . S é um plano conveniente. Pi são os pontos da seção de Poincaré correspondentes à trajetória  pelo plano S com a condição .

Nota-se que há uma transformação que leva o ponto Pi ao ponto Pi+1, que é uma aplicação  de S nele mesmo.


(3)

Se a solução de (2) é única, então o ponto P1 determina P2 e assim por diante. Por outro lado, se a partir de P2 é possível determinar P1, invertendo o sinal do tempo, dizemos que  é uma aplicação inversível de S nele mesmo.


COMENTÁRIO 1: A construção de Poincaré permite trocar a evolução no tempo contínuo dada por (2) por uma aplicação a intervalos de tempo discreto dada por (3).
COMENTÁRIO 2: Exceto em casos particulares, o tempo entre dois pontos sucessivos na (3) não é constante.

COMENTÁRIO 3: Se o fluxo é dissipativo, então há uma contração no espaço de fase. A aplicação  contrai as áreas no plano S de maneira análoga. Se o fluxo possui um atrator, as características estruturais deste aparecem no corte de Poincaré. Logo, as seções de Poincaré apresentam a mesma topologia do fluxo que o gerou.

9.1. INTERESSE PRÁTICO DAS SEÇÕES DE POINCARÉ
INTERESSE 1: o método das seções de Poincaré simplifica o estudo dos fluxos contínuos, pois permite passar de um fluxo em a uma aplicação no plano sobre ele mesmo.
INTERESSE 2: O método permite substituir as EDO’s a tempos contínuos por equações algébricas que definem a transformação a tempos discretos.
INTERESSE 3: O número de dados a manipular se reduz drasticamente, pois praticamente todos os pontos da trajetória podem ser ignorados.
COMENTÁRIO 1: M. Hénon descobriu o atrator de Hénon com uma calculadora de bolso, enquanto, por outro lado, para integrar o fluxo (sistema) de Hénon é necessário um computador e dias de cálculos. Atrator de Hénon é pela iteração (transformação) abaixo


COMENTÁRIO 2: As seções de Poincaré fornecem uma indicação muito útil dos fluxos tridimensionais. Se os pontos do corte de Poincaré estão situados sobre uma única curva, então temos uma dinâmica periódica ou quase-periódica.

(figura)


Por outro lado, se o corte é recortado e espalhado sobre a superfície, então temos um sistema aperiódico ou caótico.

(figura)



4.2. DIFERENTES TIPOS DE SEÇÕES DE POINCARÉ
4.2.1. SISTEMAS PERIÓDICOS
Sistemas periódicos tendem a trajetórias de fase fechadas (Ex: ciclo limite). Nestes casos a seção de Poincaré terá um único ponto P0 que será um ponto fixo da aplicação , pois


(figura)

4.2.2. SISTEMAS QUASE-PERIÓDICOS
Para sistemas biperiódicos com duas freqüências fundamentais f1 e f2 o atrator é um toro 2 em .

(figura)

Cada freqüência está associada a uma rotação. Os pontos de interseção de uma trajetória com o plano S aparecem com período T = 1/f1.


  • A forma da curva pode ser círculos ou elipses, ou ainda, oitos, ciclóides, etc...devido à presença harmônica das freqüências f1 e f2.

  • A forma da curva depende da razão f1/f2. Se a razão é irracional a curva do corte de Poincaré é contínua. Se a razão f1/f2 é racional, a seção de poincaré é formada de um número finito de pontos.

(figuras)



OBSERVAÇÃO: No caso de regime quase-periódico com f1/f2 racional, a trajetória fecha-se sobre ela mesma após realizar n1 translações e n2 rotações, de modo que o movimento tem período

A seção de Poincaré tem ni pontos transformados tal que



4.2.3. SISTEMAS NÃO-PERIÓDICOS OU CAÓTICOS
As seções ou cortes de Poincaré não têm padrão.
(figura)




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