Uma esfera de raio a rola sem deslizar sobre a superfície de um semi-cilindro horizontal de raio r (R > a)



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6a lista de Exercícios

1) Uma esfera de raio a rola sem deslizar sobre a superfície de um semi-cilindro horizontal de raio R (a). A esfera movimenta-se num plano perpendicular ao eixo do cilindro. Determine a equação do movimento e a freqüência das pequenas oscilações da esfera.

2) Uma partícula movimenta-se no plano xy sob influencia de uma força dada por F = - A.r-1  sendo A e  constantes positivas. Escolha um sistema de coordenadas generalizadas conveniente e faça a origem do potencial em r = 0. Ache as equações de Lagrange do movimento O momento angular da partícula em relação à origem se conserva? E a energia total do sistema?

3) Considere um pêndulo duplo com as duas massas e os dois comprimentos iguais (m e d respectivamente) e todo o movimento num único plano vertical. Determine as equações de Lagrange do movimento.

4) Considere duas regiões do espaço separadas por um plano. As energias potenciais de uma partícula nas regiões 1 e 2 são U1 e U2 respectivamente. Se uma partícula, com velocidade v1 na região 1 e v2 na região 2, passa para a região 1 para a 2 com v1 fazendo um ângulo 1 com a normal ao plano e v2, um ângulo 2, mostre que:

Onde T1 é a energia cinética da partícula na região 1.

5) Um disco de massa M e raio R rola sem deslizar sobre um plano inclinado de ângulo . No centro do disco existe um pequeno eixo, de massa e diâmetro desprezíveis, onde é suspenso um pêndulo de massa m e comprimento l (l). Considere que o movimento do pêndulo se faça no plano do disco e ache as equações de Lagrange do seu movimento.

6) Uma partícula está sobre um plano horizontal liso. Uma das extremidades do plano é levantada até um ângulo  com uma taxa constante d/dt = . Determine o movimento da partícula.

7) Um pêndulo consiste numa massa m presa numa das extremidades de uma mola cuja outra extremidade é fixa. A constante da mola é k, seu comprimento em repouso é lo e sua massa desprezível.. Determine a equação do movimento do pêndulo.

8) Um pêndulo é constituído de uma massa m presa a um fio inextensível de comprimento l e massa desprezível cuja outra extremidade é fixa no alto de um disco de raio R (R < l/). Obtenha a equação do movimento do pêndulo e a frequência das pequenas oscilações. Ache a posição da linha vertical em relação à qual o deslocamento angular do pêndulo é simétrico.



9) Uma partícula de massa m move-se num campo de forças central onde , k sendo uma constante positiva. Determine a Hamiltoniana e as equações do movimento.

10) Considere duas funções contínuas dos momentos e coordenadas generalizados g(qk,pk) e h(qk,pk). Parênteses de Poisson é definido por:







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