Série Dupla de Fourier



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Se o espaço euclidiano em tela for cp [a,b] deve-se entender û como f(x), como como sen(nx) e cos(nx) ( . Se f periódica de período 2.

Teorema: Seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp [-π, π] ( f tem uma derivada primeira contínua por partes em [-π, π]). Então, o desenvolvimento em série de Fourier de f, converge pontualmente em [-π, π] e tem o valor em cada ponto xo do interior do intervalo, e em ± π.

Note que ao escrevermos ao série de Fourier de f como




significa que a série em questão converge em média para 

Ou seja,


(média)
Ressaltamos que convergência em média não significa que a série converge pontualmente no sentido que,  para todo x0 em [-π,π]. Contudo, o teorema apresentado explicita sobre que condições a convergência pontual ocorre, ou seja, o desenvolvimento em séries de Fourier de uma função , continuamente diferenciável por partes converge. De fato, para  quando x0 é um ponto de continuidade de  ou seja, converge na reta inteira.

Teorema: seja  uma função contínua em , com período 2π, e considere que  tenha derivada primeira contínua por partes. Então, a série de Fourier de  converge uniformemente para  em todo intervalo fechado de x.

Se  for continuamente diferenciável por partes em com período 2π. Então, série de Fourier de  converge uniformemente para  e qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de 




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