Notas de aula da disciplina especial



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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – CCE

NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA ESPECIAL

SISTEMAS DINÂMICOS E O CAOS DETERMINÍSTICO

Informações em http://www.mat.uel.br/plnatti/index-didaticas-atuais.htm


Prof. Paulo Laerte Natti – Depto de Matemática - sala 15


CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO

Entende-se por sistemas dinâmicos todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas físicos, biológicos, químicos, sociais, econômicos.... Esta evolução normalmente é descrita (modelada) em termos de Equações Diferenciais. Iremos classificar os sistemas dinâmicos em duas classes:




  1. os sistemas dinâmicos dissipativos que apresentam algum tipo de atrito, o qual ao longo do tempo, devido à perda de energia, implicam na existência de um atrator, e

  2. os sistemas dinâmicos conservativos ou hamiltonianos que não apresentam qualquer tipo de perda de energia, como por exemplo, evolução do sistema solar, evolução de um plasma dentro de um acelerador de partículas ou de um Tokamac, sistemas quânticos... Em tais sistemas, devido a ausência de atratores, a evolução dos sistemas são “fortemente” dependentes das condições iniciais.

No início do século XIX, Navier e Stokes estabeleceram as equações que descreviam a evolução do escoamento de fluidos e desde então, até meados dos anos sessenta do século XX, pouca evolução ocorreu na descrição dos fenômenos presentes nestes sistemas. Hoje ainda estamos longe de poder descrever de maneira precisa a turbulência e seus mecanismos de formação. Por outro lado, a revolução iniciada por Poincaré e estendida por Birkhoff, Kolmogorov, Arnold e outros, teve conseqüências profundas. A busca de soluções exatas foi substituída pelo estudo qualitativo ou topológico das famílias de soluções, o que revelou uma enorme riqueza de movimentos. Num extremo temos o movimento caótico muito sensível às condições iniciais, e no outro a dinâmica regular dos sistemas ditos integráveis. Um grande avanço ocorreu em 1963 com E. Lorenz, que através de um cálculo numérico, definiu o conceito de atrator estranho. Em 1971, D. Ruelle e F. Takens desenvolveram um formalismo matemático rigoroso para os atratores estranhos. O conceito de atrator estranho permitiu uma melhor compreensão dos comportamentos irregulares, tipo turbulentos ou caóticos, descritos por equações determinísticas. Iniciou-se, assim, o estudo do que chamamos hoje de caos determinístico. Desde então, uma nova ciência (física) se desenvolveu, a qual é chamada de não-linear, ou turbulenta, ou caótica.


Este curso é uma introdução aos sistemas dinâmicos dissipativos, lembrando que, na Natureza, praticamente todos os sistemas apresentam dissipação. Ele é direcionado aos alunos dos cursos de Matemática , Física e Computação que já tenham feito um curso introdutório às equações diferenciais. No decorrer do curso, freqüentemente, abdicaremos das demonstrações formais e rigorosas, contentando-nos com cálculos simplificados. Também daremos ênfase as aplicações do cotidiano, a partir das quais introduziremos vários conceitos matemáticos. Pretende-se que físicos, químicos, engenheiros, biólogos... possam aplicar os conceitos expostos para interpretar os fenômenos que se apresentam em suas especialidades, e que os matemáticos e os teóricos possam continuar estes estudos não-lineares em um nível formal mais rigoroso.


Na primeira parte do curso, intitulada “ESTABILIDADE LINEAR E NÃO-LINEAR”, estudaremos alguns conceitos de estabilidade aplicados a sistemas dinâmicos são eles estabilidade linear, estabilidade não-linear (linearização) e estabilidade estrutural. Estes conceitos serão utilizados no estudo de fenômenos como bifurcações e atratores estranhos em sistemas de Lotka-Volterra, sistemas de Lorenz e em mapas (logístico, Bernoulli, Chirikov, padeiro..). Na segunda parte do curso, intitulada “CAOS DETERMINÍSTICO E ROTAS PARA O CAOS” introduziremos o conceito de caos através dos coeficientes de Lyapunov, da entropia de Kolmogorov-Sinai e dos conceitos de quase-periodicidade e intermitência introduzidos por Ruelle e Takens. Dinâmica caótica de sistemas do tipo convecção de Rayleigh-Bénard, Reações de Belousov-Zhabotinsky e ondas em plasma serão apresentadas do ponto de vista teórico e experimental. Na terceira parte do curso, intitulada “CARACTERIZAÇÃO DO CAOS DETERMINÍSTICO” calcularemos, para alguns sistemas dinâmicos clássicos, os coeficientes de Lyapunov, dimensões fractais e funções de autocorrelações de séries temporais
Ao final de cada aula serão indicadas referências, livros e artigos importantes, e tópicos para estudos. Ao final de cada bimestre cada aluno deverá entregar um trabalho sobre um dos tópicos sugeridos. A nota final de cada aluno será a média aritmética das duas notas atribuídas aos trabalhos bimestrais. A freqüência dos alunos será controlada rigorosamente. Em seguida apresentamos a ementa do curso.



Centro de Ciências Exatas

Ano Letivo

Departamento de Matemática

2005



PLANO DE CURSO DA DISCIPLINA


Código

Nome




Sistemas dinâmicos e o caos determinístico




Cursos

Série

MATEMÁTICA

FÍSICA


3ª e 4ª

3ª e 4ª





Carga Horária




Oferta

Semestre




Habilitação(ões)

T

P

Total




Anual






Bacharelado

51

00

51




Semestral










1. EMENTA
Estabilidade de sistemas linear e não-linear: bifurcações, seções de Poincaré, atratores estranhos e exemplos de sistemas dinâmicos. Caos determinístico: coeficientes de Lyapunov, entropia de Kolmogorov-Sinai e teoria geométrica do caos. Caracterização do caos determinístico: cálculo dos coeficientes de Lyapunov, dimensão fractal e séries temporais.
2. OBJETIVOS


  1. Introduzir os conceitos básicos de sistemas dinâmicos aplicados às ciências exatas, biológicas, econômicas e sociais.

  2. Utilizar métodos geométricos para o entendimento da dinâmica de sistemas não-lineares.

  3. Implementar a modelagem matemática de sistemas reais que apresentam fenômenos de quase-periodicidade, de regimes turbulentos e de transição para o caos.

  4. Apresentar os conceitos de seção de Poincaré, de atrator estranho, de dimensão fractal, de séries temporais e de caos determinístico.


3. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO


  1. Estabilidade linear e classificação dos pontos de equilíbrio em duas dimensões. (1aula)




  1. Sistemas não-lineares: linearização, estabilidade não-linear, ciçlos limites. (1 aula)




  1. Sistemas não-lineares: bifurcações. (1 aula)




  1. Mapas e seções de Poincaré: pontos fixos, estabilidade linear e bifurcações em mapas. (1 aula)




  1. Atratores estranhos. (1 aula)




  1. Exemplos de sistemas dinâmicos: modelo de Lotka-Volterra e sistema de Lorenz. (1 aula)




  1. Mapa logístico, deslocamento de Bernoulli, mapa circular, mapa de Chirikov e a transformação do padeiro. (1 aula)




  1. Caos determinístico e os coeficientes de Lyapunov. (1 aula)




  1. Entropia de Kolmogorov-Sinai. (1 aula)




  1. Teoria geométrica do caos: matriz de Floquet e o cenário de Ruelle-Takens via quasi-periodicidade. (1 aula)




  1. Teoria geométrica do caos: Cenário de Feigenbaum via duplicação de período e cenário de Pomeau-Manneville via intermitência. (1 aula)




  1. Evidências experimentais de caos em fluido-dinâmica, em química e em plasma. (1 aula)




  1. Caracterização do caos determinístico: cálculo de coeficientes de Lyapunov. (1 aula)




  1. Caracterização do caos determinístico: dimensão fractal, dimensão generalizada e o espectro de singularidades. (1 aula)




  1. Caos em sinais experimentais: transformada de Fourier, espectro de potências e função e autocorrelação. (1 aula)




  1. Reconstrução do atrator a partir de uma série temporal. Distinção entre caos determinístico e comportamento estocástico. (1 aula)




  1. Análise de séries temporais experimentais. (1 aula)



4. METODOLOGIA
4.1. PROCEDIMENTOS DE ENSINO
Aulas teóricas expositivas com aplicações dos conceitos apresentados.
4.2. ATIVIDADES DISCENTES
Participar das aulas teóricas.

Cumprir as atividades propostas pelo docente.

Realizar dois trabalhos sobre temas propostos pelo docente no semestre.

5. FORMAS E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
Média final baseada na média aritmética das duas notas obtidas nos dois trabalhos apresentados durante o semestre.

6. CRONOGRAMA


Bimestre

Itens do conteúdo programático




1-2-3-4-5-6-7-8



9-10-11-12-13-14-15-16-17



7. BIBLIOGRAFIA
Livro texto


  • Caos; uma introdução, N. Fiedler-Ferrara e C. Prado, Editora Edgard Blücher Ltda.

Outros livros sobre sistemas dinâmicos e caos determinístico




  • L’ordre dans le chaos, P. Bergé e Y. Pomeau e Ch. Vidal.




  • Nonlinear dynamics and chaos: Geometrical methods for engeneers and scientists, J. Thopson e H. Sttewart, John Wiley e Sons editors.







  • Nonlinear physics - From the pendulum to turbulence and chaos, R. Sagdeev e D. Usikov e G. Zaslavsky.

Livro sobre sistemas conservativos e o caos quântico




  • Sistemas hamiltonianos: caos e quantização, A . Almeida, Editora da UNICAMP.

Paulo Laerte Natti


Professor Responsável pela Disciplina



Aprovado pelo Dept°. em ___/___/___





Aprovado pelo Colegiado em ___/___/____










Assinatura do Chefe do Departamento




Assinatura do Coordenador do Colegiado





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