Noções de Estatística



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Estatística e Probabilidades

Profº Eduardo Vicente

Noções de Estatística

Podemos entender a Estatística como sendo o método de estudo de comportamento coletivo, cujas conclusões são traduzidas em resultados numéricos. Podemos, intuitivamente, dizer que:

Estatística é uma forma de traduzir o comportamento coletivo em números.
Universo Estatístico ou População Estatística: Conjunto formado por todos os elementos que possam oferecer dados pertinentes ao assunto em questão.

Exemplo 1: Um partido político quer saber a tendência do eleitorado quanto a preferência entre dois candidatos à Presidência da República. O Universo Estatístico é o conjunto de todos os eleitores brasileiros.


Amostra: É um subconjunto da população estatística.

Quando o Universo Estatístico é muito vasto ou quando não é possível coletar dados de todos os seus elementos, retira-se desse universo um subconjunto chamado amostra. Os dados são coletados dessa amostra .


Exemplo 2: “Numa pesquisa para saber a intenção de votos para presidente da república, foram ouvidas 400 pessoas...”


  • Esse grupo de 400 pessoas é uma amostra.

  • Cada pessoa ouvida nessa pesquisa é uma unidade estatística.

  • Cada informação numérica obtida nessa pesquisa é um dado estatístico.

Rol: É toda seqüência de dados numéricos colocados em ordem não decrescente ou não crescente.


Exemplo 3: Os 5 alunos de uma amostra apresentam as seguintes notas de matemática:


6; 4; 8; 7; 8

O rol desses resultados é : (4; 6; 7; 8; 8 ) ou

(8; 8; 7; 6; 4 ).
Freqüência absoluta: É o número de vezes que um determinado valor é observado na amostra.
Freqüência total: É a soma de todas as freqüências absolutas.

Freqüência relativa:

É o quociente ou .

Exemplo 3:

Numa turma foram registradas as idades de todos os 25 alunos. Qual a freqüência absoluta e a freqüência relativa do número de alunos de 14 anos:


15

16

16

15

14

15

17

16

14

14

14

17

15

16

15

16

14

15

15

15

16

15

15

16

17

Solução;

Tabela de freqüências:



Idade

Freqüência absoluta

Freqüência relativa(%)

14

5

(5/25).100%

=20%


15

10

(10/25).100%=40%

16

7

(7/25).100%

=28%


17

3

(3/25).100%

=12%


Total

25

100%

Resposta: F = 5 e Fr = 20%

Medidas de Centralização:

(Média, Mediana, Moda)

Média Aritmética: Considere a seguinte situação:

A tabela abaixo mostra as notas de matemática de um aluno em um determinado ano:


Bimestre

3,5

2° Bimestre

7,5

3° Bimestre

9,0

4° Bimestre

6,0

A média aritmética dessas notas é dada por:



Obs.: Ter média 6,5 significa dizer que, apesar de ele ter obtido notas mais altas ou mais baixas em outros bimestres, a soma das notas (26) é a mesma que ele alcançaria se tivesse obtido nota 6,5 em todos os bimestres.

Média Ponderada: Considere a seguinte situação:

Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três outros 2 litros de água, cada um e, ainda, dois outros contém 5 litros de água, cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente em cada um dos baldes, com quantos litros ficaria cada um?

Solução:

A quantidade de litros que ficaria em cada balde é a média aritmética ponderada:



Ou seja, a quantidade, em litros, de água em cada balde é chamada de média ponderada dos valores 4 litros, 2 litros e 5 litros, com pesos 5; 3 e 2.

Generalizando:

Média Aritmética:



Média Aritmética Ponderada:



ou

Mediana:

Considere a seguinte situação:

Os salários de 5 pessoas que trabalham em uma empresa são: $700,00 ; $800,00 ; $900,00 ; $1.000,00 e $5.600,00. O salário médio dessas 5 pessoas é:

Parece lógico que, neste caso, a média aritmética não é a melhor medida de centralização para representar esse conjunto de dados, pois a maioria dos salários é bem menor que $1.800,00. Em algumas situações a mediana é um número mais representativo. A mediana é o termo central do rol. Logo, escrevendo o rol dos dados numéricos dessa situação, temos:

(700; 800; 900; 1000; 5600)

Logo, o termo central desse rol é “900”. Então a mediana é igual a 900.

Se acrescentarmos à lista o salário de $1.000,00de outro funcionário, ficaríamos com um número par de dados numéricos. Nesse caso, a mediana seria a média aritmética dos termos centrais:

(700; 800; 900; 1000; 1000; 5600)

Logo a mediana é dada por:



Podemos interpretar esse resultado da seguinte maneira:

Metade dos funcionários ganha menos de $950,00 e a oura metade mais de $950,00.

Generalizando:

Se n é ímpar, a mediana é o termo central do rol.

Se n é par, a mediana é a média aritmética dos termos centrais do rol.


Moda: Voltemos ao exemplo 3, onde foram registradas as idades de 25 alunos de uma turma.

15

16

16

15

14

15

17

16

14

14

14

17

15

16

15

16

14

15

15

15

16

15

15

16

17

A idade de maior freqüência é a de 15 anos. Por isso dizemos que a Moda dessa amostra é de 15 anos e indicamos

Definição: Em uma amostra cujas freqüências dos elementos não são todas iguais, chama-se moda, que se indica por , todo elemento de maior freqüência possível.

Exemplo 4


  • Na amostra (3; 4; 7; 3; 7; 9; 7) a moda é



  • Na amostra (9; 9; 5; 7; 10; 22; 1; 10)

Aqui temos duas modas e

(amostra bimodal)

  • Na amostra (1; 3; 5; 7; 9) não apresenta moda, pois todos os elementos tem a mesma freqüência.

Medidas de Dispersão

Considere a seguinte situação:

Dois candidatos disputam uma única vaga em uma empresa. Foram realizados vários testes com esses dois candidatos: Eduardo e Vicente. A tabela a seguir mostra os desempenhos dos dois candidatos nas provas a que se submeteram:






Eduardo

Vicente

Português

8,5

9,5

Matemática

9,5

9,0

Informática

8,0

8,5

Inglês

7,0

8,0

Economia

7,0

5,0

Note que as médias de Eduardo e Vicente são iguais:

Eduardo:


Vicente:


Os dois candidatos obtiveram a mesma média. Como proceder cientificamente para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho na avaliação?

A comparação entre os dois desempenhos pode ser feita através das seguintes medidas estatísticas:

I) Desvio absoluto médio(D.AM.) :

Determina o quanto cada nota está afastada da média. Essas diferenças são chamadas de desvio:

Eduardo:


D.AM.==

=

Vicente:

D.AM.==

= 1,2

Logo, as notas de Eduardo estão, em média, 0,8 acima ou abaixo da média, enquanto as notas de Vicente estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da média aritmética (8,0). Isso mostra que as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Então: Eduardo merece a vaga.


II) Variança ()

É uma outra medida estatística que indica o afastamento de uma amostra em relação a média aritmética. Define-se Variança como a média aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos da amostra:

Eduardo:

Vicente:




Logo, por esse processo, Eduardo também teve um desempenho mais regular.


III) Desvio Padrão ():

É a raiz quadrada da Variança.

Eduardo:


Vicente:

Logo, por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.

Conclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicente.
Probabilidade de um Evento E em um Espaço Eqüiprovável

Obs.: Se um Espaço Amostral “S” é formado pelos eventos simples , então:


Exercícios

1)Os salários dos funcionários de uma empresa estão distribuídos na tabela abaixo:



Salário

Freqüência

$400,00

5

$600,00

2

$1.000,00

2

$5.000,00

1

Determine o salário médio, o salário mediano e o salário modal.

Exercícios

1)Os salários dos funcionários de uma empresa estão distribuídos na tabela abaixo:


Salário

Freqüência

$400,00

5

$600,00

2

$1.000,00

2

$5.000,00

1

Determine o salário médio, o salário mediano e o salário modal.
2) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.

A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:

a) 7,9; 7,8; 7,2

b) 7,2; 7,8; 7,9

c) 7,8; 7,8; 7,9

d) 7,2; 7,8; 7,9

e) 7,8; 7,9; 7,2
3)

Num determinado país a população feminina representa 51% da população total. Sabendo-se que a idade média (média aritmética das idades) da população feminina é de 38 anos e a da masculina é de 36 anos. Qual a idade média da população?

a) 37,02 anos

b) 37,00 anos

c) 37,20 anos

d) 36,60 anos

e) 37,05 anos

4
) Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela a seguir mostra os seis resultados possíveis e as suas respectivas freqüências de ocorrências:


A freqüência de aparecimento de um resultado ímpar foi de:

a) 2/5


b) 11/25

c) 12/25


d) 1/2

e) 13/25
5) Em tempo de eleição para presidente, foram ouvidas 400 pessoas quanto a intenção de voto. Cada pessoa ouvida nessa pesquisa constitui um(a):



  1. dado estatístico

  2. unidade estatística

  3. amostra representativa

  4. freqüência

6) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que:

a) a média também vale zero.

b) a mediana também vale zero.

c) a moda também vale zero.

d) o desvio padrão também vale zero.

e)todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
7
) A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças, durante um período de 30 dias úteis.
Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100 unidades, julgue os itens abaixo.
(1) A moda da série S é 5. ( )

(2) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%.

( )

(3) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de distribuição de freqüências com a mesma mediana da série S. ( )


8)Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de cada face é proporcional ao número de pontos daquela face. Qual a probabilidade de ser obter um número par de pontos no lançamento desse dado?
9) A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5 mães.

Mãe

Ana

Márcia

Cláudia

Lúcia

Heloísa

Idade dos filhos

7; 10; 12

11; 15

8; 10; 12

12; 14

9; 12; 15; 16; 18

A idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de Heloísa em ____ ano(s).

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1


10) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 0,25. Determine a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes.

11) Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:



Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:


1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas.

2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente.

3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.

b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
12) ENEM

13)ENEM




  1. Marco, pois a média e a mediana são iguais.

  2. Marco, pois obteve o menor desvio padrão.

  3. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 pontos em Português.

  4. Paulo, pois obteve a maior mediana.

  5. Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

14) ENEM


A)6


B)6,5

C) 7


D) 7,3

E) 8,5


Gabarito:

1)O Salário médio é igual a $1.020,00 ( )

O Salário mediano é igual a $500,00 ( )

O Salário modal é de $400,00 ( )

2) [A] 3) [A] 4) [C] 5) [B]

6) [D] 7) E; C; C; 8) 9) C 10) 11) D



12) E 13) B 14) B







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