Modelagem matemática da absorçÃo de anticoncepcionaisde uso contínuo



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Encontro03.12.2017
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A MATEMÁTICA DO ANTICONCEPCIONAL

A análise do fenômeno da absorção de drogas no organismo envolve identificação das variáveis envolvidas, representação gráfica e se possível também uma representação algébrica desta relação. Neste texto, propomos uma seqüência de atividades de ensino para alunos do nível médio que se baseia no processo de modelagem, para desenvolver conceitos de matemática básica: variável, funções e gráficos, potências, progressões geométricas e soma dos termos da progressão.



1. Informações sobre os anticoncepcionais de uso diário

Ao se administrar uma droga, esta é absorvida pelo corpo, mas, com o passar do tempo, é distribuída e eliminada. Compreender este processo de absorção, distribuição e eliminação de uma droga é importante para determinar a concentração adequada de um medicamento de maneira que se obtenham os efeitos desejados, isto é, um fármaco precisa estar presente em concentrações adequadas nos seus locais de ação, de modo a ter um efeito terapêutico evitando-se um efeito tóxico. Embora as concentrações atingidas sejam uma função da quantidade da droga administrada, também dependem do grau e da taxa de sua absorção, distribuição, ligação ou localização nos tecidos, da sua biotransformação e da sua excreção.



Level é um contraceptivo oral, também conhecido como "pílula anticoncepcional". Age basicamente através da inibição da ovulação, sendo por isso, altamente eficaz na prevenção da gravidez indesejada, controle das irregularidades menstruais e no tratamento da síndrome da tensão pré-menstrual.

Level® é resultante da combinação de levonorgestrel, progestágeno totalmente sintético com o etinilestradiol, um estrógeno. (bula)

Sua forma farmacêutica de apresentação é uma caixa com 21 comprimidos revestidos onde cada comprimido contém 100 µg de levonorgestrel e 20 µg de etinilestradiol. No total, um comprimido de Level contém 120 µg deste composto hormonal.

Lembrete: 120µg = 1,2mg = 0,0012g

E
strógeno e progestágeno são hormônios, que em sua forma natural são produzidos pelo corpo da mulher em diferentes momentos do ciclo menstrual. O gráfico seguinte mostra a evolução dos níveis hormonais numa mulher que não toma anticoncepcional, durante os dias do ciclo menstrual.

Com o uso diário de anticoncepcional o gráfico se transforma:





ATIVIDADE 1


Estes gráficos foram elaborados na área médica. O primeiro indica a relação entre o nível hormonal da mulher que não toma anticoncepcional, com os dias decorridos a partir do início do seu ciclo menstrual. Usando a linguagem gráfica usual da matemática, refaça o gráfico.

  1. No eixo horizontal, o que significa o zero do gráfico? E o 1? E o 2? E o número 28?

  2. Existe um valor 22,5 no eixo horizontal? E 15,75? O que significa este valor? Embora não conheçamos os valores numéricos do eixo vertical, pode-se imaginar que existam ali valores como 120,8 µg? 180, 89 µg?

  3. As variáveis deste gráfico assumem valores numéricos apenas no conjunto dos números inteiros ou também assumem valores no conjunto dos números reais? Justifique sua resposta?

  4. Este gráfico representa uma função? Justifica.

  5. Qual é o domínio desta função?

  6. Denominamos as variáveis que assumem valores num domínio composto apenas por números inteiros de VARIÁVEIS DISCRETAS. As variáveis cujo domínio de variação é um intervalo do conjunto dos números reais são chamadas de VARIÁVEIS CONTÍNUAS. No gráfico acima, analise os dois eixos: as variáveis são discretas ou contínuas?


ATIVIDADE 2


Da mesma forma que acontece com os alimentos e líquidos que ingerimos e que são eliminados pelo corpo durante o dia, também uma parte do medicamento é absorvida e outra parte é eliminada.

Existe um padrão de eliminação de medicamentos pelo organismo. Algumas substâncias são eliminadas mais rapidamente que outras. No caso dos anticoncepcionais, de modo geral o corpo elimina a cada 12 horas a metade daquilo que possuía anteriormente.



  1. Trace um gráfico que mostre o que ocorre com a quantidade de remédio correspondente a um único comprimido, ingerido no início do primeiro dia do ciclo, digamos à zero hora deste dia.

  2. No eixo horizontal, a variável é discreta ou contínua? E no eixo vertical?

  3. Este gráfico representa uma função?

  4. Qual é o domínio e qual é a imagem desta função?

  5. Identifique na imagem da função uma seqüência de números, a1, a2, a3... Onde a1 corresponde à primeira dose, a2 é a quantidade restante após um dia, a3 é a quantidade restante após dois dias, e assim por diante.

Complete a tabela seguinte para procurar o termo geral da seqüência, an:

Tempo em dias

Total absorvido pelo corpo em µg

0

a1 = 120




1

a2 =

a2 = a1 . 1/4

2

a3 =

a3 = a1 ......................

3

a4 =

a4= ...........................

*

*

*



*

*

*



*

*

*



n-1

an = ?

an = .......................

Vamos discutir as seguintes questões:

  1. Em que dia e hora existem 120 µg no corpo? E 60 µg? E 30? E 15?

  2. Em que dia e hora existe uma quantidade igual a a20 no corpo? E uma quantidade igual à an?

  3. Qual o significado, neste exemplo, do termo a1? E do termo an?

  4. Quanto do anticoncepcional terá sido absorvido pelo organismo ao final do sexto dia? E no início do vigésimo dia?

  5. Em qual momento do dia e de qual dia, a concentração de Level no sangue fica menor do que 1 µg?

Progressões Geométricas

O primeiro caso estudado tratava da absorção diária de um único comprimido de anticoncepcional, ingerido na hora ZERO do primeiro dia.

O termo geral obtido corresponde a uma seqüência numérica que tem certo padrão de construção: cada termo da seqüência é obtido pelo produto do termo anterior por um número fixo, ¼. A este padrão, chamamos de fórmula de recorrência:

an = an-1 . ¼


De outro modo, vemos que o primeiro termo a1 é sucessivamente multiplicado por um mesmo número, ¼ o que resulta no termo geral :
an = a1 . (¼)n-1
Uma seqüência assim obtida é denominada uma Progressão Geométrica de razão q=1/4.

A letra “q” identifica esta razão com um quociente: o quociente entre quaisquer dois termos consecutivos da Progressão Geométrica é sempre igual à razão:

an = an-1 . ¼ an = an-1 . q

an / an-1 = ¼ an / an-1 = q


O termo geral de uma Progressão Geométrica sempre terá uma expressão do tipo:

an = a1. q n-1, com q > 0 e q ≠ 1

No caso da absorção de drogas, temos um fenômeno com variação decrescente com razão 1/4. De outro modo, podemos dizer, que é um caso de decaimento geométrico. Nos decaimentos, a razão é menor do que 1: q < 1.

Outras progressões podem ser crescentes. Nestes casos q > 1.



ATIVIDADE 3

Agora suponha que você inicie um ciclo, administrando 1 comprimido de Level a cada dia e que o seu organismo absorva totalmente a droga. Esta é uma hipótese impossível. Vejamos matematicamente o que aconteceria.

a) Construa um gráfico que mostre a quantidade de hormônios ingerida e retida no corpo, dia a dia.

b) No eixo horizontal, a variável é discreta ou contínua? E no eixo vertical?

c) Este gráfico representa uma função? Quais são as variáveis?


  1. Qual é o domínio e qual é a imagem desta função?

e) Escreva a imagem da função como uma seqüência de números, a1, a2, a3...

Onde a1 é a quantidade inicial igual à primeira dose, a2 resulta da soma da quantidade anterior com mais uma dose, a3 é a soma da quantidade anterior com mais uma dose, e assim por diante.

Complete a tabela seguinte para procurar o termo geral da seqüência, an:


Tempo em dias

Total absorvido pelo corpo em µg

0

a1

a1

1

a2

a2 = a1 + 120

2

a3

a3 = a1 + 120 + 120

3

a2

a4= ..........................

*

*

*



*

*

*



*

*

*



n-1

an

an = .......................

Vamos discutir as seguintes questões:

  1. Em que hora e dia existem 120 µg no corpo? E 60 µg? E 240?

  2. Em que dia existe uma quantidade igual a a20 no corpo? E uma quantidade igual a an ?

  3. Qual o significado, neste exemplo, do termo a1? E do termo an?

  4. Qual a quantidade de anticoncepcional presente no organismo ao final do sexto dia? E no início do décimo dia?

Progressões Aritméticas

O segundo caso estudado tratava da hipótese absurda da ingestão diária de anticoncepcionais, sem eliminação.

O termo geral obtido corresponde a uma seqüência numérica que tem certo padrão de construção: cada termo da seqüência é obtido pela soma termo anterior com um número fixo, 120. A este padrão, chamamos de fórmula de recorrência:

an = an-1 + 120


De outro modo, vemos que o primeiro termo a1 é sucessivamente somado a um mesmo número, 120 o que resulta no termo geral :
an = a1 + (n - 1) 120
Uma seqüência assim obtida é denominada uma Progressão Aritmética de razão r = 120.

A letra “r” identifica esta razão com um resto: o resto entre quaisquer dois termos consecutivos da Progressão Aritmética é sempre igual à razão:

an = an-1 + 120 an = an-1 + r

an - an-1 = 120 an - an-1 = r

O termo geral de uma Progressão Geométrica sempre terá uma expressão do tipo an = a1 + (n-1) r , com r ≠ 0

No caso da hipótese absurda da ingestão contínua de drogas, sem eliminação, temos um fenômeno com variação crescente, com razão 120. De outro modo, podemos dizer que é um caso de crescimento aritmético. Nos crescimentos, a razão é positiva: r > 0

Outras progressões aritméticas podem ser decrescentes. Nestes casos, a razão é negativa: r < 0

ATIVIDADE 4
Vimos nas aulas anteriores um exemplo de progressão aritmética (administrando 1 comprimido de Level por dia e supondo que cada dose seja completamente absorvida pelo corpo) e um exemplo de progressão geométrica (administrando uma única dose de Level).

No entanto nenhum destes exemplos retrata o que realmente ocorre quando administramos um anticoncepcional diário. O que ocorre de fato é a administração de uma cartela inteira de pílula anticoncepcional ininterruptamente. Sabemos que a cada comprimido administrado, com o passar do tempo tem uma queda na sua concentração e esta queda se dá de forma geométrica. Por outro lado, a cada novo dia é administrado um novo comprimido de forma que haja uma "compensação".

Relembrando: 1 pílula de Level contém 120 µg de um certo composto hormonal

a) Utilize o papel milimetrado para construir um gráfico que mostre a evolução da quantidade de hormônios ingerida e retida no corpo, dia a dia.

b) No eixo horizontal, a variável é discreta ou contínua? E no eixo vertical?

c) Este gráfico representa uma função? Quais são as variáveis?



  1. Qual é o domínio e qual é a imagem desta função?

  2. Identifique na imagem da função duas seqüências de números:

c1, c2, c3, ...

r1, r2, r3.......

Onde c1 é a quantidade inicial igual à primeira dose, r1 é a quantidade restante após 1 dia, c2 resulta da soma de r1 com mais uma dose, r2 é o que resta de a2 após 1 dia, c3 é a soma de r2 com mais uma dose, e assim por diante.

Complete a tabela seguinte para procurar o termo geral da seqüência, an:


Dia /


dose

Quantidade de fármaco

Quantidade de anticoncepcional

Quantidade de resíduo de anticoncepcional

Início do intervalo

Fim do intervalo

0/1

c1 = 120

r1 = 120 / 4

r1 = 30



1/2

c2 = 30 + 120

c2 = 1 50



r2 = 150 / 4

r2 =



2/3

c3 =



r3 =



3/4

c4 =



r4 =



4/5

c5 =



r5 =



5/6

c6 =



r6 =



Vamos discutir as seguintes questões:

  1. Em que dia e hora existem 120 µg no corpo? E 30 µg? E 150?

  2. Em que dia e hora existe uma quantidade igual a c5 no corpo? E uma quantidade igual a cn ?

  3. Qual o significado, neste exemplo, do termo c1? E do termo cn?

  4. Qual a quantidade de anticoncepcional presente no organismo ao final do sexto dia? E no início do sexto dia?

Podemos então buscar uma expressão matemática que represente este modelo (já vimos graficamente). Do mesmo modo que encontramos recursivamente as expressões de diferentes seqüências (exercícios) podemos encontrar uma que represente o modelo do anticoncepcional.

Começamos construindo uma tabela para nos orientarmos melhor:



dia / dose




Quantidade de anticoncepcional

(logo após a administração)




0/1

c1 = c1

1/2


c2 = r1 + c1


2/3


c3 = r2 + c1


3/4


c4 = r3 + c1


4/5


c5 = r4 + c1



*

*

*




*

*

*



n-1/n

cn = rn-1 + c1


Observe que temos uma PG de cinco termos cujo primeiro termo é c1 e a razão é 1/4.

Fazer esta soma pode ser complicado quando tivermos muitos termos. Buscaremos então uma fórmula que generalize a soma para qualquer termo inicial, qualquer razão e qualquer quantidade de termos.

Para a soma de uma progressão geométrica finita:

PG = (a1, a1.q, a1.q2, a1.q3, ..., a1.qn-1) finita de primeiro termo a1 e razão q:

E fazendo Sn – Sn.q, onde Sn.q é,


obtemos:

No nosso caso temos:






Como: temos:

a1 = c1 e q = 1/4




Logo,



No nosso caso temos que c1 é a concentração inicial (que tomamos como sendo 120 g). Podemos então calcular as concentrações limites (ponto de equilíbrio estável) a partir destas fórmulas matemáticas. Tomamos n=14 (metade do ciclo) e vejamos:







Assim, podemos comparar este resultado com aquele obtido no gráfico e perceber que é o mesmo, com a vantagem que com a expressão algébrica podemos encontrar os valores da concentração sem ter de calcular termo a termo. Também se pode fazer facilmente o cálculo da concentração de outros anticoncepcionais e outros medicamentos modificando-se apenas alguns parâmetros.




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