Exercícios complementares



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Exercícios complementares (8/8)



Provas anteriores

Universidade Federal de Pernambuco


Cin – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

10 Exercício Escolar de Métodos Numéricos Computacionais

Março/04




  1. Escreva (aproximadamente 20 linhas) sobre o que você entende por um

dos seguintes temas:

    1. Aritmética de máquina;

    2. Aproximação de funções (Método dos Mínimos Quadrados);

    3. Interpolação polinomial. (2,5 pontos)




  1. Cite uma vantagem e uma desvantagem dos seguintes grupos de

métodos numéricos para resolver equações diferenciais ordinárias:

    1. Métodos de passos simples (Euler, Modificado de Euler, Runge-Kutta);

    2. Métodos de passos múltiplos (Adams-Moulton, Adams-Bashforth). (1,5 ponto)




  1. Determine as soluções das seguintes equações diferenciais

    1. dy/dt + e t y = 0

    2. dy/dt + y = 1 / (1 + e t ) (3 pontos)




  1. Determine as soluções das seguintes equações diferenciais com

valores iniciais

a) 3t 2 + 4ty + ( 2y + 2t2 )dy/dt = 0, y(0) = 1;



  1. ( xy 2 – x )dx + ( 2x 2y + 8y )dy = 0, y(1) = 0. (3 pontos)

Prof. Dias



Universidade Federal de Pernambuco


Cin – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

20 Exercício Escolar de Métodos Numéricos Computacionais

abril/04



  1. Determine as soluções das seguintes equações diferenciais

    1. y” + 4y’ – 5y = e x + 2x

    2. y” – 2y’ + y = e x / x3, x > 0

    3. y” + y =cos t (2 pontos)




  1. Determine a solução da seguinte equação diferencial com

valores iniciais

y”’ + y’ = e x y(0) = 1, y’(0) = 1 y”(0) = 1 / 2. (2 pontos)


3) Usando a forma polar, mostre que (-1 + i)7 = - 8(1 + i) (1 ponto)

4) Ache todas as raízes da equação x 3 + i = 0. (1 ponto)

5) Projeto (4 pontos)

Prof. Dias



Universidade Federal de Pernambuco


Cin – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

Exercício Escolar Final de Métodos Numéricos Computacionais

Abril/04
1) Responda com (V) ou (F) justificando sua resposta em no máximo 5 linhas por item.



    1. Os métodos de passos múltiplos para determinar a integração numérica de uma função usam métodos de passos simples para fazer suas aproximações; ( )

    2. Na aritmética de ponto flutuante cada elemento de uma máquina representa um subconjunto dos reais; ( )

    3. No MMQ para aproximar funções, a função ajustada passa pelos pontos tabelados. ( ) (3,0 pontos)




  1. Determine as soluções das seguintes equações diferenciais com ou sem

valores iniciais

a) 3t 2 + 4ty + ( 2y + 2t2 )dy/dt = 0, y(0) = 1;



  1. ( xy 2 – x )dx + ( 2x 2y + 8y )dy = 0, y(1) = 0;

  2. dy/dt + y = 1 / (1 + e t )

  3. y” + y =cos t (4 pontos)



  1. Qual é a condição para que o produto de dois números complexos

(a + bi) e (c + di) seja um real puro ? e para ser um complexo puro ?

(3,0 pontos)

CIn – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

20 Exercício Escolar de Métodos Numéricos Computacionais

fevereiro/06 – 2/05

1) Desenvolva por série de Fourier
f(x+2L) = f(x)

(3 pontos)


2) Responda com (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir justificando

suas resposta.





  1. O tamanho do passo “h” nos métodos numéricos para resolver uma equação diferencial ordinária pode influenciar na solução ( );

b) O menor número natural n para o qual é imaginário puro é 3 ( );




  1. Um método numérico para resolver uma EDO pode fazer uso de um

outro método numérico em sua aplicação ( ). Caso caiba, dê um exemplo;
d) Seja Se f é par, então F é ímpar e vice-versa ( ).

(2 pontos)


3) Desenvolva por série de Fourier

(2 pontos)


4) Considere o problema de valor inicial u” + p(t)u’ + q(t)u = g(t),

u(0) = u0 e u’(0) = u0’. Transforme esse problema em um outro de valor

inicial para duas equações de primeira ordem.

(1 ponto)

5) Projeto (2 pontos)


Universidade Federal de Pernambuco


CIn – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

20 Exercício Escolar de Métodos Numéricos Computacionais

fevereiro/06 – 2/05

1) Desenvolva por série de Fourier
f(x+2L) = f(x)

(3 pontos)


2) Responda com (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir justificando

suas resposta.





  1. O tamanho do passo “h” nos métodos numéricos para resolver uma equação diferencial ordinária pode influenciar na solução ( );

b) O menor número natural n para o qual é imaginário puro é 3 ( );




  1. Um método numérico para resolver uma EDO pode fazer uso de um

outro método numérico em sua aplicação ( ). Caso caiba, dê um exemplo;
d) Seja Se f é par, então F é ímpar e vice-versa ( ).

(2 pontos)


3) Desenvolva por série de Fourier

(2 pontos)


4) Considere o problema de valor inicial u” + p(t)u’ + q(t)u = g(t),

u(0) = u0 e u’(0) = u0’. Transforme esse problema em um outro de valor

inicial para duas equações de primeira ordem.

(1 ponto)

5) Projeto (2 pontos)

Prof. Dias


Universidade Federal de Pernambuco


Cin – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

Exercício Escolar Final de Métodos Numéricos Computacionais

Fevereiro/06 - 2/05

1) Escreva (aproximadamente 20 linhas) sobre o que você entende por

Transformada de Laplace.

(2 pontos)
2) Desenvolva em série de Fourier (com detalhes) a função periódica f, de período 2, definida por

(2 pontos)

3) Determine a solução da seguinte equação diferencial com

valores iniciais

y iv – 4 y ``` + 4y `` = 0, com y(1) = -1, y`(1) = 2, y `` (1) = 0 e

y ```(1) = 0.

(2 pontos)



  1. Resolva a equação

2y `` + 3y ` + y = 3sen(t) + t 2

(2 pontos)



  1. Encontre a solução da equação diferencial

x sen(x) y` + (sen(x) + x cos(x)) y = x e x

com a condição inicial y (/2) = 0.

(2 pontos)


Prof. Dias

Universidade Federal de Pernambuco


CIn – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

20 Chamada de Métodos Numéricos Computacionais

fevereiro/06 – 2/05

1) Desenvolva por série de Fourier
f(x+2π) = f(x)

(2,5 pontos)

2) Resolva a seguinte equação diferencial .

(1,5 ponto)

3) Calcule (1,5 ponto)

4) Resolva a equação (2,5 pontos)


5) Verifique se uma equação diferencial separável é sempre exata. Caso seja

verdadeiro, apresente um exemplo.

(2 pontos)

Prof. Dias




Universidade Federal de Pernambuco


Cin – Centro de Informática

20 Exercício Escolar de Métodos Computacionais 1/04


1- Resolva as seguintes equações diferenciais



  1. ( dy / dx ) + y = 1 / ( 1 + e x )




  1. y” + 2y’ + y = 4e –t, y(0) = 2, y’(0) = 1.




  1. y” – y’ – 2y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 0, usando Transformada de Laplace.

2 – Desenvolva por série de Fourier


f(x+2) = f(x)


Universidade Federal de Pernambuco


Cin – Centro de Informática

10 Exercício Escolar de Métodos Computacionais 2/03




  1. Responda com (V) ou (F) justificando sua resposta em no máximo 5 linhas.

    1. No MMQ para aproximar funções, a função ajustada passa pelos pontos tabelados .

    2. Na aproximação de funções por polinômio interpolador, o polinômio encontrado terá sempre o grau igual ao número de pontos menos 1 .

    3. Os métodos de passos múltiplos para determinar a integração numérica de uma função usam métodos de passos simples para fazer suas aproximações.

    4. Na aritmética de ponto flutuante cada elemento de uma máquina representa um subconjunto de números reais. ( 4,0 pontos)




  1. Resolva as seguintes equações diferenciais

a) y’ + ( y / t ) = sen(t) , t > 0

b) ( dy / dx ) = ( y 3 ) / ( 1 – 2xy 2 ) , y (0) = 1 . ( 3,0 pontos)

3) Verifique que y’ = (ax + by) / (cx + d1y) é exata se e somente se

b + c = 0. ( 3,0 pontos)



Universidade Federal de Pernambuco

Cin – Centro de Informática

Graduação em Eng. da Computação

10 Exercício Escolar de Métodos Numéricos Computacionais

Agosto de 2006


1. Resolva as seguintes equações diferenciais


a) Explicitar em y. (1,5 ponto)

b) (2 pontos)

c) . Explicitar em y. (2 pontos)

d) . Explicitar em y. (2 pontos)


2. Para que valor de b a equação abaixo é exata, e, então, resolva-a

utilizando esse valor de b.



(1,5 ponto)
3. Pode-se solucionar a equação diferencial Caso possa, descreva como resolvê-la. Considere a, b, c e d constantes e cy + d ≠ 0. (1 ponto)

Universidade Federal de Pernambuco


CIn – Centro de Informática

Graduação em Engenharia da Computação

20 Exercício Escolar de Métodos Numéricos Computacionais

outubro/06 – 1/06

1) Desenvolva em série de Fourier a seguinte função dada pelo tabelamento

Verifique então que, para x=0, obtemos a igualdade



(3 pontos)

2) Resolva a seguinte equação diferencial usando transformada de Laplace


y `` - 6y` + 9y = t2 e3 t, com y(0) = 2 e y`(0) = 6.

(3 pontos)

3) Calcule

, k  0, por convolução.

(2 pontos)

5) Projeto (2 pontos)

Prof. Dias

Universidade Federal de Pernambuco

Cin – Centro de Informática

Graduação em Eng. da Computação

Exercício Escolar Final de Métodos Numéricos Computacionais

Outubro de 2006 (1/ 06)

1. Resolva a seguinte equação diferencial

( x 2 + 3xy + y 2 ) dx - x 2 dy = 0

2. Resolva a seguinte equação diferencial




3. Resolva usando a transformada de Laplace o seguinte problema de

condição inicial


y`` - 5y` + 4y = e 2 t , y (0) = 1 e y` (0) = 1.

4. Desenvolva em série de Fourier f ( x ) = cos (αx), -  < x <  ,



α  (0, 1).

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