Equações Diferenciais II créditos/horas-aula



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Código MAT

Nome

01167

Equações Diferenciais II

Créditos/horas-aula

Súmula

06 / 90

Equações diferenciais ordinárias e lineares. Elementos de séries de Fourier, polinômios de Legendre e funções de Bessel. Equações diferenciais lineares a derivadas parciais (problemas de contorno: equações da Física Clássica).

Semestre

2009-2

Cursos

Engenharia Ambiental

Engenharia Cartográfica – Noturno

Engenharia Civil

Engenharia de Alimentos

Engenharia de Computação

Engenharia de Controle e Automação

Engenharia de Materiais

Engenharia de Minas

Engenharia de Produção

Engenharia Elétrica

Engenharia Mecânica

Engenharia Metalúrgica

Engenharia Química

Bacharelado em Física

Licenciatura em Físico – Diurno

Licenciatura em Físico – Noturno

Bacharelado em Matemática – ênfase

Matemática Pura

Bacharelado em Química

Química Industrial


Etapa














Pré-Requisitos

MAT01353 Cálculo e Geometria Analítica I – A e

MAT01355 Álgebra Linear I – A


Professor Responsável




Teresa Tsukazan

Professores Ministrantes




André Meneghetti (Turmas E1, F1)

Eduardo Henrique de Mattos Brietzke (Turma B1)

Elismar Oliveira (Turmas C2, D1).

Elizabeth Quintana F. da Costa (Turma A2)

Joana Mohr (Turmas C1 e D1)

Leonardo Prange Bonorino     (Turmas B2)

Teresa Tsukazan de Ruiz (Turma A1)



Objetivos:


  • Desenvolver no aluno a percepção da importância e do grau de aplicabilidade das equações diferenciais na modelagem matemática de situações concretas.

  • Capacitar o aluno a equacionar matematicamente problemas da Física Clássica e de outras ciências.

  • Estudar os métodos básicos de resolução de equações diferenciais. Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas que envolvam equações diferenciais, com técnicas específicas de abordagem, adequadas à resolução de cada um.


Metodologia e Experiências de Aprendizagem:
O programa será desenvolvido em aulas expositivas teóricas-práticas. No decorrer do curso serão distribuídas listas de exercícios, para maior fixação dos conteúdos apresentados em aula. Haverá também um atendimento extraclasse, em horário a ser combinado com os alunos.
Eventualmente poderão ser desenvolvidas atividades em laboratório computacional.
Conteúdo Programático:
1. UNIDADE 1.

1.1 Generalidades sobre Equações Diferenciais Ordinárias:



  • Conceito e exemplos de equação diferencial, solução particular, solução geral, solução singular, condições iniciais e condições de contorno.

  • Critérios de classificação de equações diferenciais quanto a ordinárias, parciais, ordem e linearidade.

  • Problemas de valor inicial e de contorno.

  • Exemplos de problemas e de aplicações às demais ciências conduzindo a uma equação diferencial ou a um problema de valor inicial.

1.2 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem:



  • Interpretação geométrica das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em forma normal: campo de direções.

  • Equações a variáveis separáveis.

  • Equações exatas. Fatores integrantes.

  • Equações lineares.

  • Equações redutíveis a uma equação linear: equação de Bernoulli.

  • Estudo qualitativo das equações diferenciais autônomas de 1ª ordem.

  • Teorema de existência e unicidade.

  • Modelos de crescimento populacional e outras aplicações das equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem.

  • Equações diferenciais de 2ª ordem redutíveis à 1ª ordem: equações não envolvendo explicitamente a variável dependente (mas somente suas derivadas) e equações autônomas de 2ª ordem.

1.3 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares:

  • Equações diferenciais lineares de Segunda ordem.

  • Equações diferenciais lineares homogêneas: espaço vetorial das soluções, princípio de superposição, sistema fundamental de soluções.

  • Determinação de uma segunda solução linearmente independente a partir de uma solução não trivial conhecida para uma equação linear homogênea de ordem 2.

  • Equações lineares homogêneas a coeficientes constantes.

  • Equações lineares não homogêneas: método dos coeficientes a determinar.

  • Aplicações a oscilações mecânicas e elétricas.

2. UNIDADE 2

2.1. EDOL não homogêneas e Sistemas de EDO:


  • Equações lineares não homogêneas: método dos coeficientes a determinar.

  • Equações lineares não homogêneas: método de variação dos parâmetros.

  • Equações diferenciais lineares de ordem superior.

  • Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares.

2.2. Ortogonalidade de um conjunto de funções:

  • Conjuntos ortogonais e ortonormais em espaços de funções. Sistemas ortogonais completos.

  • Exemplos de sistemas ortogonais de funções. Ortogonalidade de senos e cossenos.

2.3. Séries de Fourier:

  • Desenvolvimentos em séries de Fourier. Desenvolvimentos em série de Fourier seno e em séries de Fourier cosseno.

2.4. Equações Diferenciais Parciais:

  • Equação unidimensional da onda. Resolução pelo método de separação de variáveis.

  • Difusão unidimensional do calor em uma barra de comprimento finito. Resolução por separação de variáveis.

  • Problemas não homogêneos redutíveis a homogêneos.

  • Equação de Laplace. Problema de Dirichlet e de Neumann e sua interpretação física. Resolução em regiões retangulares por separação de variáveis.

UNIDADE 3

3.1 Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias por séries de Potências, Funções Especiais e Equações Diferenciais Parciais


  • Equação de Cauchy-Euler.

  • O laplaciano em coordenadas polares. Problema de Dirichlet e Neumann interior e exterior para o disco, setor circular e anel circular.

  • Pontos ordinários de equações diferenciais ordinárias. Resolução por séries de potências.

  • Polinômios de Legendre.

  • Ortogonalidade dos Polinômios de Legendre e desenvolvimentos em séries de Fourier-Legendre. Aplicações dos Polinômios de Legendre.

  • Pontos singulares regulares para equações diferenciais ordinárias. Método de Frobenius.

  • Funções de Bessel.

  • Ortogonalidade das funções de Bessel e desenvolvimentos em séries de Fourier-Bessel.

  • Membrana vibrante circular.


Cronograma de Atividades:
Aula 1: Introdução às equações diferenciais.

Aula 2 até aula 8: Equações diferenciais de primeira ordem.

Aula 9 até aula 13: Equações diferenciais de segunda ordem.

Aula 14: Exercícios.

Prova da primeira área.

Aula 16 até aula 18: Equações diferenciais de segunda ordem e ordem superior.

Aula 19 até aula 20: Sistemas de equações diferenciais.

Aula 21 até aula 23: Séries de Fourier.

Aula 24 até aula 28: Equações diferenciais parciais.

Aula 29: Exercícios.

Prova da segunda área.

Aula 31 até aula 34: Equação de Cauchy-Euler e Equação de Laplace.

Aula 35 até aula 39: Soluções por séries de potências e equação de Legendre.

Aula 40 até aula 45: Método de Frobenius e equação de Bessel.

Aulas 46 e 47: Exercícios.

Prova da terceira área.

Aula 49: Entrega das provas.

Aula 50 até aula 52: Revisão e exercícios.

Prova de recuperação e exame final.

Critérios de Avaliação:
Os conteúdos programáticos da disciplina serão divididos em 3 unidades de ensino, também chamados de áreas. A aprendizagem em cada área será avaliada independentemente.
Para ser considerado aprovado na disciplina, é necessário, além de ter uma freqüência mínima de 75%, que o aluno obtenha em cada área nota igual ou superior a 3,0 (três) e tenha uma média aritmética (V1+V2+V3)/3 das três áreas iguais ou superior a 6,0 (seis).
A atribuição dos conceitos aos alunos aprovados ocorrerá em correspondência com a nota final, que é a média aritmética das três notas de área:


  • Com freqüência igual ou superior a 75%:

Aprovação – A – média igual ou superior a 9,0;

B – média igual ou superior a 7,5 e inferior a 9,0;

C – média igual ou superior a 6,0 e inferior a 7,5;
Ao aluno já aprovado pelo critério exposto acima, será facultada a oportunidade de melhorar o seu conceito final, através da realização da prova de recuperação de uma, e somente uma, das áreas. Neste caso valerá a nota mais alta entre a prova original e a prova de recuperação correspondente.

Atividades de Recuperação:
O aluno que não obtiver média superior ou igual a 6,0 (seis) ou que possuir nota inferior a 3,0 (três) em alguma área poderá realizar uma prova de recuperação ou o exame final, conforme as regras do item critérios de avaliação, desde que a sua média seja maior ou igual a 3,0 (três) e que a sua freqüência seja maior ou igual a 75%. Para estes alunos, existem duas possibilidades:


  1. Prova de recuperação de uma única área, que substituirá a nota da área correspondente. Esta modalidade só é permitida ao aluno que tiver obtido apenas uma ou nenhuma nota inferior a 3,0 (três).




  1. Exame, cujo conteúdo abrangerá toda a matéria da disciplina. Esta modalidade é obrigatória ao aluno que tiver obtido duas notas inferiores a 3,0 (três).

A prova de recuperação e o exame final serão aplicados, pelo menos, quatros dias depois da divulgação do resultado das provas regulares.


O aluno que prestar o exame será aprovado se obtiver nota no exame superior ou igual a 6 (seis), sendo atribuído o conceito C.
As provas serão únicas e realizadas em horários especiais, simultaneamente em todas as turmas da disciplina.

O aluno que já estiver aprovado e desejar melhorar o conceito, também poderá fazer uma prova de recuperação.


Bibliografia Básica:


  1. W. E. Boyce, R. C. DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. 7ª ou 8ª edições.


Bibliografia Complementar:


  1. D. G. Zill. Equações Diferenciais com Aplicações e Modelagem, Ed. Thomson.

  2. D. G. Zill. Equações Diferenciais. Makron Books, 3ª edição.

  3. C. H. Edwards Jr., D. E. Penney. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, 3ª edição, Ed. Prentice-Hall do Brasil.

  4. D. G. Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA.

  5. M. R Spiegel. Análise de Fourier. Coleção Schaum.

  6. G. F. Simmons. Differential Equations with Historical Notes, 2nd edition, McGraw-Hill.

  7. M. Tenenbaum, H. Pollard. Ordinary Differential Equations, Dover.

  8. R. L. Borrelli, C. S. Coleman. Differential Equations, A Modeling Perspective, John Wiley, 1998.

  9. Nakhlé Asmar. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems, Prentice Hall, 2000.

  10. R. Churchill. Séries de Fourier e Problemas de Valores de Contorno.

  11. E. Kreyszig. ADVANCED Engineering Mathematics, 8th edition, John Wiley & Sons, 1999.

  12. E. Brietzke. Notas de aula disponíveis na página da disciplina, http: //www.mat.ufrgs.br/~brietzke/cont.html







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