Cálculo Diferencial e Integral I



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Álgebra Linear

3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.


a) b) c)

Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:

a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.

b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.

c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.

2 – Encontre o determinante de cada matriz.


a) b) c)

Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina-se alguns cofatores.

a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:



OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a13 e a23.
b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.



OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a12 e a22.

c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses elementos é zero, o determinante é nulo.

3 – Determine o conjunto verdade das equações.

Solução.

a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:


b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

4 – Sabendo que , calcule os determinantes das seguintes matrizes.



Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades dos determinantes.
a) 1470 b) 0 c) – 2940
a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.

b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale zero.

c) A 3ª coluna é o dobro da 3ª coluna da matriz original. Logo o determinante dobra. Vale (-1470 x 2)
5 – (ITA) Se , calcule o valor do = 12.
Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for multiplicado a uma linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos:

a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2).

b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere.

c) A 3ª linha foi multiplicada por (3).

Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no valor: (-1).(-2).(2).(3) = 12.
6 – Resolva as equações:
a) b) c)
Solução. O procedimento será encontrar determinantes por qualquer método e igualar ao valor do 2º membro. Nos casos acima de 2 x 2, será utilizado o método de Laplace.

a) Laplace na 1ª linha

b) Det 2 x 2 natural.

c) Laplace na 1ª linha.

a)
b)
c)

7 - (ITA-2006) Sejam as matrizes e . Determine o elemento c34 da matriz .



Solução. Repare que não é preciso resolver toda a soma dos elementos. A informação que interessa é somente relativo ao elemento c34. Como a soma relaciona elemento a elemento correspondente a sua posição, temos que: c34 = a34 + b34 = 1 + 1 = 2.
8 - (Unicamp-2006) Sejam dados: a matriz , encontre o conjunto solução da equação .
Solução. Aplicando Laplace na 1ª coluna, temos:



Como essa expressão deve ser nula, temos:



OBS. Repare que para x = 1, a 1ª coluna seria toda nula, logo anularia o determinante. Se x = 2, a 2ª coluna seria igual à primeira, anulando também o determinante.

9 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A é simétrica se A = AT. Assim se a matriz é simétrica, calcule x + y + z.


Solução. A matriz é a simétrica. Igualando as matrizes A e AT, temos:


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

     a) 64

     b) 8

     c) 0

     d) -8

     e) -64 RESPOSTA: D

 

                  

      a) 2 ou -2

      b) 1 ou 3

      c) -3 ou 5

      d) -5 ou 3

      e) 4 ou -4 RESPOSTA: A


                                                    

      a) não se define;

      b) é uma matriz de determinante nulo;

      c) é a matriz identidade de ordem 3;

      d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;

      e) não é matriz quadrada. RESPOSTA: B

 

      a) duas linhas proporcionais;

      b) duas colunas proporcionais;

      c) elementos negativos;

      d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;

      e) duas filas paralelas iguais. RESPOSTA: D

 

      a) -9       b) -6       c) 3       d) 6       e) 9 RESPOSTA: E

 

      é igual a:

      a) 7       b) 8     c) 9       d) 10       e) 11 RESPOSTA: C
7) Seja a matriz . Determine os seguintes cofatores: A23, A21, e A22.
8
a) Determine: A12 e A14.

b) Calcule o valor dos cofatores A12 e A14.

c) Calcule o valor do determinante de A desenvolvendo pelos elementos da 1ª linha.
) Seja

9
a) Utilizando os cofatores da 2ª linha.

b) Utilizando a regra de Sarrus.
) Calcule o valor do

10) Resolva as equações

a) = 12, utilizando os cofatores da 3ª linha. b)

b) , pela Regra de Sarrus. d)


11) Dadas as matrizes


Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus, de cada uma das matrizes a seguir:

a) A b) B c) A + B d) A.B


e
12) Dadas as matrizes


Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus:

a) At b) Bt c) (A - B)t


e
13) Sendo e , calcule o número real x, tal que det (A – xB) = 0.
14) Resolva a equação
15) Dada a Matriz , determine o valor do determinante da matriz M2.


Resoluções dos exercícios propostos

8) a) ;

b) A12 = -(5 – 15) = 10; A14 = -2(3 – 1) = -4



= (-1)5.(-1)4 = -2

c) = A12 + A14 = 1.10 + 2.(-2) = 6

10) a) x1 = 2 ou x2 = 3.

b) x1 = 0 ou x2 = .

c) x = 4

d) Não existe x real












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