Capítulo 6 Efeito não Linear de Mistura de Quatro Ondas da Fibra Óptica nos Sistemas ossb/scm com Detecção Directa



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Capítulo 6

Efeito não Linear de Mistura de Quatro Ondas da Fibra Óptica nos Sistemas OSSB/SCM com Detecção Directa

6.1 Introdução


Apesar da capacidade da fibra óptica como meio de transmissão de grandes quantidades de informação ser enorme, a exploração desta capacidade está limitada pela interacção não linear entre o suporte de transmissão constituído pela fibra e o sinal óptico que nela se propaga. Estas não linearidades ópticas geram interferência, distorção e atenuação suplementar dos sinais, degradando o desempenho dos sistemas.

Estes efeitos podem ser do tipo difusão não linear ou podem ter origem na dependência não linear do índice de refracção da fibra óptica em relação à intensidade da luz [6.1]. Aos primeiros corresponde a dispersão estimulada de Raman (SRS, Stimulated Raman Scattering) [6.2] e a dispersão estimulada de Brillouin (SBS, Stimulated Brillouin Scattering) [6.2] e [6.3]. Aos segundos correspondem os efeitos de auto-modulação de fase (SPM, Self-Phase Modulation), modulação cruzada de fase (XPM, Cross-Phase Modulation)[6.2], [6.4]-[6.9] e mistura de quatro ondas (FWM, Four-Wave Mixing) [6.7], [6.8], [6.10]-[6.13].

O efeito de dispersão estimulada de Brillouin é originado pela geração de uma onda de Stokes, com conversão de frequência e em sentido contrário ao da propagação. Esta onda de Stokes gera-se pela interacção entre os modos acústicos e o modo óptico HE11, que se propaga na fibra óptica monomodal. Este efeito não linear só é gerado eficientemente para potências superiores a um dado valor, designado de limiar e que depende dos parâmetros do sistema, principalmente do tipo de modulação. Assim, em sistemas que utilizam modulação de fase a referência 14 refere que para taxas superiores a 1 Gbit/s, o valor da potência de limiar ultrapassa os 100 mW e que para sistemas que utilizam modulação de amplitude, independentemente da taxa de transmissão este valor varia entre 10 mW e 20 mW.

Este efeito afecta particularmente os sistemas multicanal na medida em que origina a transmissão de energia de um canal para os canais vizinhos. Este fenómeno ocorre devido à conversão de uma fracção da potência do feixe incidente com uma dada frequência num outro feixe com uma frequência mais baixa e cujo valor depende dos modos de vibração do meio.

O efeito de dispersão estimulada de Raman é do mesmo tipo do SBS, mas só se faz sentir para valores de potência mais elevados. Contudo, os sistemas ópticos de longa distância obrigam a utilização de potências ópticas mais elevadas, o que torna estes sistemas mais susceptíveis a este efeito, limitando a capacidade máxima do sistema [6.15].

Contrariamente ao SBS, que só ocorre no sentido contrário ao da propagação, o SRS faz-se sentir em ambos os sentidos. Por serem efeitos instantâneos quando comparados com as taxas de modulação, SBS e SRS afectam todos os tipos de sistemas [6.2].

O efeito de auto-modulação de fase tem origem na variação do índice de refracção da fibra óptica com a potência óptica do sinal. Este fenómeno traduz-se por uma alteração do espectro dos pulsos transmitidos, na transmissão em banda de base e por flutuações nas amplitudes das subportadoras nos sistemas SCM [6.9].

O efeito de modulação cruzada de fase origina uma variação de fase do sinal óptico com a potência de um dos outros sinais transmitidos simultaneamente na mesma fibra óptica, pelo que este efeito não linear só ocorre em sistemas multicanal e é sempre acompanhado do efeito de auto-modulação de fase (apêndice F).

Comparativamente com o efeito de XPM o efeito de FWM é o efeito não linear que mais afecta os sistemas OSSB/SCM [6.7]. O objectivo deste capítulo é o estudo do efeito de FWM, nas secções 6.2 e 6.3 estuda-se este efeito, respectivamente, em sistemas multicanal e em sistemas multicanal com amplificadores ópticos de fibra associados em cadeia. Na secção 6.4 determina-se uma expressão para a corrente do sinal OSSB/SCM corrompida pelo efeito de FWM após os processo de fotodetecção e desmodulação eléctrica.

6.2 Efeito de Mistura de Quatro Ondas em Sistemas Multicanal


Como se comprovou no capítulo 2 os sistemas OSSB só aumentam a imunidade à dispersão cromática da fibra óptica monomodal comparativamente aos sistemas ODSB quando se utiliza fibra de dispersão normal. Apesar da baixa eficiência da geração de FWM neste tipo de fibra [6.10] e [6.13], a pequena separação na frequência entre canais SCM justifica o estudo deste efeito e a análise da sua influência no desempenho dos sistemas OSSB/SCM.

A mistura de quatro ondas é um efeito não linear que corresponde à geração de um campo numa quarta frequência, quando três campos ópticos, com frequências diferentes, se propagam na mesma fibra óptica. No caso dos sistemas SCM existem N+1 (N corresponde ao número de canais e +1 corresponde à portadora óptica) campos a propagarem-se na mesma fibra óptica. Tem-se, assim, várias combinações possíveis de três campos com possibilidade de gerar um quarto campo numa frequência ocupada por um canal, gerando diafonias.

A equação que descreve o campo que se propaga na fibra óptica monomodal, em cada canal, considerando sinais monocromáticos, é [6.12]:




(6.1)

onde, representa o coeficiente de atenuação da fibra óptica, representa a constante de propagação correspondente à frequência angular do canal i, i, dada por:



(6.2)

representa o índice de refracção correspondente à frequência do canal i e c é a velocidade da luz no vácuo.

A notação utilizada em (6.1) relativamente aos sinais adoptados para as variações temporais e espaciais do campo é diferente da utilizada nos outros capítulos, por coerência com o normalmente utilizado na literatura, nas equações que descrevem estes efeitos, e que serão apresentadas posteriormente.

O estudo dos efeitos não lineares pode ser feito partindo da componente não linear de terceira ordem da polarização eléctrica, que se relaciona com o campo eléctrico através de [6.1]:




(6.3)

onde representa a susceptibilidade de terceira ordem, que é geralmente um tensor. Se o campo eléctrico estiver polarizado linearmente, considerando a fibra óptica como um meio isotrópico, este tensor degenera num escalar.

Para se calcular a susceptibilidade deve-se ter em conta que o índice de refracção da fibra é descrito por [6.1]:





(6.4)

onde representa a parte linear do índice de refracção, P representa a potência óptica, representa a área efectiva do núcleo da fibra e n2 é o coeficiente não linear de Kerr. Este índice relaciona-se com a susceptibilidade através da relação:



(6.5)

Embora o objectivo deste capítulo seja analisar o efeito de FWM, o facto de existirem outros efeitos originados pelo processo não linear descritos conjuntamente pelas equações (6.3) a (6.5) implica que, nos cálculos efectuados, não seja possível separá-los.

Como se pode concluir pela análise da equação (6.3) estes efeitos não lineares são de terceira ordem pelo que, para efeitos de cálculos, pode-se considerar interacções por grupos de três frequências que, no caso particular da SCM, podem corresponder a canais propriamente ditos ou à portadora óptica. Nomeadamente, o campo total E(z,t), correspondente às frequências genéricas p, q e r, com campos monocromáticos e com a mesma polarização, é dado por:





(6.6)

onde c.c. significa complexo conjugado.

Substituindo (6.6) em (6.3) obtém-se uma expressão para a polarização não linear com quarenta e quatro componentes espectrais (apêndice F). Assim a polarização não linear é dada por:





(6.7)

onde PNL(i,z) representa cada uma das amplitudes complexas correspondentes às componentes espectrais atrás referidas, das quais apenas as que verificam as relações e , e suas permutações, correspondem ao efeito de FWM em estudo neste capítulo. Estas amplitudes são dadas por:



(6.8)

onde esão as amplitudes dos campos envolvidos na geração do efeito de FWM e D é um factor que toma o valor três se p=q e seis se pq.

Contudo, para que o sinal na quarta frequência, F, com , seja gerado eficientemente é necessário que exista adaptação de fase. A condição de adaptação de fase ocorre quando , sendo dado por:





(6.9)

onde representa a constante a constante de propagação definida pela equação (6.2).

Na fibra óptica monomodal não se consegue obter a condição de adaptação de fase, contudo consegue-se uma aproximação e o valor de diminui com o aumento do comprimento da fibra, a diminuição da dispersão e a diminuição do espaçamento de frequências entre canais [6.13].

As expressões (6.7) e (6.8) permitem concluir, que a interacção entre sinais de frequências distintas que se propagam na mesma fibra óptica, originam componentes de polarização noutras frequências. Este facto sugere o aparecimento de potências ópticas geradas nas correspondentes frequências e que, por coincidirem com frequências ocupadas por outros canais, geram diafonias e degradam o desempenho do sistema. O objectivo desta secção é obter uma expressão analítica para esta potência, tendo por base uma formulação simplificada da apresentada por Hill et al. [6.16]. A degradação do desempenho do sistema motivada por este efeito é analisada posteriormente no capítulo 7.

Para simplificar o processo de cálculo, considera-se que todas as ondas estão polarizadas linearmente segundo o eixo dos x, que não sofrem despolarização e que a propagação se efectua na direcção positiva do eixo dos z. Utiliza-se, uma metodologia que considera inicialmente só a variação longitudinal dos campos, considerando a aproximação para ondas planas e, posteriormente, introduz-se a componente que contabiliza a correspondente variação transversal. Nestas condições são válidas as equações (6.3) e (6.7) no cálculo da polarização não linear, sendo os termos de (6.7) correspondentes ao efeito de FWM dados por (apêndice F):





(6.10)

A equação de onda não homogénea, que descreve a propagação nas condições atrás referidas, é [6.12] e [6.16]:



(6.11)

onde representa o campo eléctrico gerado por FWM, dado por:



(6.12)

Substituindo (6.10) em (6.11) e considerando que a susceptibilidade é invariante no tempo, obtém-se:

(6.13)


Efectuando as derivadas (apêndice F) obtém-se:



(6.14)

Resolvendo a equação diferencial, nas condições de variação lenta da envolvente do campo gerado pelo efeito de FWM, EF, obtém-se para este campo na saída da fibra óptica de comprimento z (apêndice F):



(6.15)

Se existir adaptação de fase , (6.15) é substituída por:



(6.16)

em que,



(6.17)

representa o comprimento efectivo da fibra óptica, que corresponde a um comprimento corrigido, tendo em conta a redução da potência de cada sinal óptico com a atenuação.

Para calcular a potência gerada em cada frequência pelo efeito de FWM, é necessário ter em consideração a distribuição transversal da intensidade da luz do modo HE11, que se propaga na fibra óptica monomodal. A potência óptica média é dada por [6.16]:





(6.18)

As amplitudes do campo e da polarização não linear, presentes nesta equação, já são funções das três coordenadas espaciais e a integração é feita no volume V da fibra óptica. A amplitude do campo eléctrico pode ser dada por:



(6.19)

onde N(x,y), representa a componente normalizada do campo transversal do modo HE11, pelo que N(0,0)=1 e representa a correspondente componente longitudinal.

Tendo em conta a relação entre PNL e E, obtém-se:





(6.20)

em que é dado por (6.8).

A expressão (6.18) é complexa, pelo que, em cálculos posteriores se utiliza uma aproximação baseada na potência média de uma onda plana, mas contabilizando a distribuição transversal do campo, através da introdução da área efectiva do núcleo da fibra (Aeff) [6.16].





(6.21)

A área efectiva do núcleo da fibra é dada por [6.1]:



(6.22)

Usando a equação (6.16), a equação (6.21) permite obter, mediante alguns cálculos apresentados no apêndice F, uma expressão para a potência gerada pelo efeito de FWM, na frequência na situação em que existe adaptação de fase:



(6.23)

Na fibra óptica monomodal de dispersão normal pelo que é fundamental determinar uma expressão equivalente a (6.23) válida nestas condições. Nesta situação, o valor da potência gerada, PF, é inferior, sendo esta diferença dada por um factor multiplicativo, sempre inferior à unidade, designado por eficiência de mistura de quatro ondas (F). Este factor, para as mesmas condições de funcionamento, define-se como o quociente entre a potência gerada na situação em causa e a potência gerada quando existe adaptação de fase, ou seja:



(6.24)

Esta expressão é equivalente a (apêndice F):



(6.25)

No sistema em estudo nesta tese, como já foi referido, é usada pré-amplificação óptica, pelo que, a potência gerada por FWM também é amplificada e, admitindo que o ganho do pré amplificador óptico compensa exactamente a atenuação, o factor é eliminado da expressão (6.23).

Substituindo (6.23), sem o factor em (6.24) obtém-se a expressão analítica que permite calcular a potência gerada por FWM, na saída da fibra óptica de comprimento z, na situação geral em que não existe adaptação de fase:





(6.26)

A desadaptação de fase, definida pela equação (6.9), que como já foi referido está intimamente relacionada com a eficiência da geração do efeito de FWM, relaciona-se com o parâmetro de dispersão, Dc(), através da relação (apêndice F):



(6.27)

Desde que o comprimento de onda, F, não se situe na região de dispersão nula, a expressão (6.27), pode ser aproximada por:



(6.28)







p

















































q




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r =







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Tabela 6.1 - Combinações de canais que produzem interferência por FWM no canal 8 para canais equiespaçados na frequência

De (6.26) conclui-se que o aumento da potência por canal aumenta fortemente o efeito de FWM. Analisando (6.25), conclui-se que a eficiência (F) é máxima quando , ou seja quando existe adaptação de fase, e toma o valor F=1. A uma eficiência máxima corresponde uma potência gerada por efeito de FWM, PF, máxima, donde se conclui, que não sendo alterados os parâmetros do sistema, a diafonia é máxima quando existe adaptação de fase. Por outro lado, as expressões (6.25) e (6.28) permitem concluir que a eficiência cresce quando diminui o espaçamento de frequências entre canais e/ou a dispersão cromática Dc.

A potência óptica gerada, PF, varia no mesmo sentido da eficiência da mistura. Quando se aumenta o comprimento da fibra óptica, mantendo os restantes parâmetros constantes, verifica-se também, que PF aumenta, em virtude de aumentar o comprimento efectivo da interacção.

Considerando como aproximação que os diferentes sinais são incorrelacionados, pode-se calcular a potência total gerada pelo efeito de FWM, na frequência fF, a partir da expressão (6.26) somando todas as contribuições para as diferentes combinações de frequências presentes no sistema que verificam a relação , obtendo-se a seguinte expressão aproximada:





(6.29)

A tabela 6.1 constitui um exemplo dos valores de p, q e r que produzem interferência no canal F=8, num sistema com 16 canais equiespaçados. Na horizontal, representam-se os valores de p, na vertical, os valores de q e em tabela, os valores de r. No cálculo da potência total, usando (6.29), não devem ser considerados os casos em que p e q se permutam entre si, pois estes termos já estão contabilizados no factor D da equação (6.26). Assim, só se consideram os termos da tabela acima da diagonal principal. Também, não devem ser considerados os casos p=r ou q=r, pois corresponde a uma situação de modulação cruzada de fase e p=q=r, por corresponder a uma situação de automodulação.



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