5ª Aula Transcrição: João Lucas C. Silva Sistemas Quase-Lineares



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Notas de aula do professor Paulo Laerte Natti
5ª Aula

Transcrição: João Lucas C. Silva

4. Sistemas Quase-Lineares.
4.1. Sistemas Lineares.
Consideramos sistemas de 2ª ordem lineares e homogêneos com coeficientes constantes do tipo



,
com a, b, c e d constantes. Na representação matricial,

ou [1]


X’=AX.
A solução de [1] tem a forma

ou [2]


.
Substituindo [2] em [1], obtemos uma equação para os auto-vetores ξ e para os auto-valores r, ou seja,
[3]
que apresenta solução trivial se
. [4]
Os pontos críticos de [1] são obtidos de Ax=0. Como detA≠0, então x=0 é o único ponto crítico de [1].

Resumindo os resultados da última aula:


 TEOREMA: “O ponto crítico X=0 do sistema de EDO’s de 2ª ordem linear homogêneo com coeficientes constantes [1] é:


  1. Assintoticamente estável se os auto-valores de [4] são ambos reais negativos distintos ou repetidos, ou ainda se r1 e r2 forem complexos com parte rela negativa.

  2. Estável se r1 e r2 forem imaginários puros.

  3. Instável se r1 e r2 forem reais positivos distintos ou repetidos, reais com sinais opostos ou complexos com a parte real positiva.”


Comentários:

  • Os auto-valores de A, que dependem dos coeficientes de A, determinam o tipo de ponto crítico X=0 e sua característica de estabilidade.

  • Medições com incertezas determinam os coeficientes de A. QUESTÃO: pequenas modificações (ou perturbações) dos coeficientes de A podem afetar a estabilidade (ou instabilidade)?


Exemplo: Sistema fortemente sensível a perturbações.

Quando A é tal que r1=iμ e r2=-iμ (raízes imaginárias puras), o ponto crítico X=0 é estável do tipo centro, e as trajetórias são fechadas (círculos ou elipses) em torno de x=0. Uma pequena modificação nos coeficientes de A geram outros auto-valores.



r1=λ’+iμ’

r1=-λ’+iμ’

r2=-λ’-iμ’

r2=λ’-iμ’

Se λ’>0, o sistema torna-se instável. Se λ’<0, o sistema torna-se assintoticamente estável.
4.2. Sistemas Quase-Lineares.
Definição: Considere um sistema bidimensional não-linear, que esteja próximo de um sistema linear na vizinhança de um ponto crítico. Ou seja,

ou [5]


X’=AX+G(x).
Admitiremos que:

  1. A origem é ponto crítico de [5];

  2. detA≠0, fazendo com que X’=AX tenha como único ponto crítico a origem (x=0);

  3. G(x) tenha derivadas parciais contínuas;

  4. .


Exemplo: Considere o sistema

O sistema é quase-linear em torno da origem?
Solução: Explicitamente,
.


  1. Verificando se a origem é ponto crítico do sistema não-linear, calculemos


.
Pontos críticos: (0,0); (0,2); (1,0); (,). Assim, (0,0) é ponto crítico do sistema não-linear.


  1. Como , então o sistema linear



tem (0,0) como ponto crítico.


  1. As equações



tem derivadas parciais.


  1. Tomando o limite das funções g1 e g2 temos que


e
Conclusão: Em torno do ponto (0,0), o sistema não-linear é quase-linear.
4.3. Oscilador Harmônico Linear.

A equação de movimento do pêndulo simples sem atrito é


,

que fornece


.
Como r=l, teremos . Assim,

(EDO de 2ª ordem)


Quando as oscilações são de pequena amplitude, θ é muito pequeno. Então vale a aproximação sinθ≈θ. Por isso, reescrevemos nossa EDO de 2ª ordem como sendo
[6]
com ou , onde .

  • Tratamento alternativo do oscilador harmônico simples em atrito linearizado.

As equações de movimento são


(Sistema de duas EDO’s de 1ª ordem)


Definindo
[7]
temos que, devido às definições [7], [6] ficará

ou [8]


.

X’=AX
Como detA≠0, então (0,0) é ponto crítico de [8]. Os auto-valores de A serão
.
Assim, as trajetórias deste sistema serão do tipo





Logo, no espaço de faze, este sistema é estável.





  • Outro tratamento alternativo: Método de Lyapunov.

A energia total do oscilador harmônico simples em atrito linearizado será


. [9]
Para ângulos muito pequenos, . Para ,
. [10]
Derivando [9], temos
. [11]
Mas, a equação entre parêntesis é a equação de movimento do pêndulo, e é igual a zero. Por isso, a energia do sistema é conservada.

De [10] e [11], temos que


,
pois a energia é conservada. Também,

sendo que a equação acima representa uma elipse com raios iguais a 1 e .
4.4. Oscilador Harmônico Quase-Linear.
Novamente, a equação do pêndulo simples sem atrito é
.
Transformando num sistema de EDO’s, temos

Então,

ou [12]


.
Em torno de (x,y)=(0,0), a função tem uma parte linear, de modo que, em torno de zero, podemos escrever
.
Reescrevendo [12],

ou [13]



Verificando se [13] é quase-linear em torno da origem:


  1. Pontos críticos do sistema não-linear:



Então, os pontos críticos serão (0,±nπ), como era de se esperar para o caso da função seno.


  1. Temos que . Então, (0,0) é ponto crítico do sistema linear


.

  1. As funções



têm derivadas parciais.


  1. Tomando os limites das funções, teremos


e .
Concluímos que, em torno de (0,0), os sistemas

e


são “próximos”.




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