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VI Congresso de Iniciação Científica da Universidade Federal de Campina Grande





INICIAÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

João Paulo Formiga de Meneses1, José de Arimatéia Fernandes2

RESUMO
Tendo como meta usar técnicas realmente elementares, procuramos estudar o aspecto linear de cada problema, fazendo um estudo introdutório neste aspecto da Matemática de interesse real para aplicações às outras ciências. Selecionamos o problema de pequenas oscilações de uma corda.

Foi utilizado o Método de D’Alembert para encontrar a Equação Diferencial das pequenas oscilações de uma corda, analisando existência e unicidade de soluções e dependência contínua dos dados iniciais. Posteriormente, a solução de D’Alembert foi interpretada e analisamos o domínio de dependência e de influência.


Palavras-chave: Oscilações de uma corda, Método de D’Alembert, Equação Diferencial


INITIATION INTO THE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
ABSTRACT
Having a goal really use elementary techniques, we study the linear aspect of each problem, making an introductory study on this aspect of mathematics of interest to real applications in other sciences. Selected the problem of small oscillations of a string.
We used the method of D'Alembert to find the differential equation of small oscillations of a string, analyzing existence and uniqueness of solutions and dependence on initial data continues. Subsequently, the solution of D'Alembert was interpreted and analyzed the domain of dependence and influence.

Keywords: Oscillations of a string, D'Alembert method, differential equation

INTRODUÇÃO

Muitos problemas nas áreas de Engenharia, Matemática e Física são modelados com o uso da ferramenta de equações diferenciais parciais. Em particular, a Equação da Onda exerce um papel muito importante em aplicações aos aplicações aos problemas relacionados com transporte de energia ou de massa que surgem, por exemplo, na Dinâmica de Fluidos. Daí segue-se a importância de se entender a teoria básica que modela a Equação da Onda e que descreve o comportamento de sua solução.

Neste sentido, deduzimos a Equação da Onda em uma situação particular e estudamos a solução dada pela fórmula de D’Alembert.

METODOLOGIA
Seminários semanais preparados e ministrados pelo aluno e expostos ao orientador.


DISCUSSÃO


  1. Equação diferencial para pequenas oscilações de uma corda e de uma membrana




    1. MÉTODO DE D’ALEMBERT


1.1.1 – Equação diferencial das pequenas oscilações de uma corda
Suponha-se que, em estado de equilíbrio, uma corda coincida com o eixo das abscissas de um sistema de coordenadas cartesianas com origem num ponto 0 do plano ; limitar-se-á, aqui, ao estudo de pequenas oscilações transversais. Por transversal entende-se a oscilação que se realiza em um plano que contém o eixo dos e em que cada elemento da corda se desloca perpendicularmente a esse eixo.

Representa-se por o deslocamento de cada ponto da corda no instante , a partir de sua posição de equilíbrio. As hipóteses que se seguem são necessárias para a fundamentação das considerações posteriores.



  1. Todas as forças de atrito, tanto internas como externas, não serão consideradas.

b) A intensidade das forças gravitacionais é pequena quando comparada com as tensões na corda.

  1. As amplitudes das oscilações e suas derivadas são pequenas, de modo que seus quadrados e produtos não são considerados nos cálculos quando comparados com a unidade.

Num instante fixo, suponha-se que o perfil da corda seja o representado na Fig. 1, onde o segmento se deformou, devido ao movimento, no arco de curva .

Fig. 1


O comprimento do arco , no instante t, é dado por

Em virtude da hipótese (c) de pequenas oscilações, obtém-se



Desse modo, quando se estudam pequenas oscilações, não há variação do comprimento do segmento . Daí, pela Lei de Hooke, pode-se concluir que a intensidade da tensão , em cada ponto, não varia com o tempo, ou seja, que a variação da tensão durante o movimento não é levada em conta em presença da tensão de equilíbrio . Aqui, é a tensão a que está submetido o segmento na posição de equilíbrio.

É possível mostrar, também, que a tensão T pode ser tomada como independente de , isto é, pode-se considerá-la igual à tensão . De fato, as forças que atuam sobre o arco de curva são as seguintes:

a) as tensões em e tangenciais à corda;

b) as forças externas, caso existam;

c) as forças de inércia.

Como, por hipótese, o movimento é na direção perpendicular ao eixo dos e as forças externas e de inércia têm direção também perpendicular a esse eixo, deduz-se que o arco não possui aceleração na direção , isto é, a resultante das forças na direção é nula. Então, representando-se por α o ângulo agudo que a direção faz com o eixo dos , no instante , tem-se


Da hipótese de serem pequenas oscilações vem




resultando que quaisquer que sejam e da corda. Assim, não depende de e será identificada com para todo e .

Vale a pena lembrar o Princípio de D’Alembert, que afirma: “Num sistema material em movimento, as forças nele aplicadas e as forças de inércia se equilibram”. A equação diferencial de pequenas oscilações de uma corda será deduzida como aplicação desse princípio. Para tanto, serão explicitadas as forças que atuam na corda. Viu-se que, devido às condições impostas, as forças responsáveis pelo movimento são as componentes das tensões na direção dos deslocamentos , as forças externas e as forças de inércia. Calculando-se essas forças, obtém-se:




  1. resultante das tensões na direção u:


sendo:


conclui-se que



Portanto, a componente das tensões na direção u é dada por




  1. forças externas – represente-se por a distribuição de forças externas por unidade de comprimento atuando sobre a corda, na direção . Resulta que a força externa que atua sobre o arco será:



  1. forças de inércia – seja a densidade linear da corda. A massa do segmento da corda é
    e a força de inércia sobre esse segmento será


.

Portanto, a força de inércia sobre o arco será dada por


.

Finalmente, do Princípio de D’Alembert obtém-se


quaisquer que sejam , e t ≥ 0. Supondo-se o integrando uma função contínua, segue-se que


.
Esta última é a equação diferencial de pequenas oscilações de uma corda flexível, sob a ação de uma força externa . Quando é constante (corda uniforme), obtém-se
(1.1)

sendo


.
Quando não há força externa atuando na corda, a equação se reduz à seguinte:
(1.2)
Observação 1 – A constante possui dimensão de velocidade.
Uma equação como a (1.1), que envolve uma função incógnita , suas derivadas parciais e um termo que depende apenas das coordenadas, denomina-se equação diferencial parcial. Ela está incluída em um tipo amplo de equações diferenciais parciais denominado equação de ondas. De fato, o símbolo de derivação , que opera em funções , denomina-se operador de Laplace tridimensional. Define-se analogamente o operador de Laplace unidimensional, bidimensional e de dimensão maior que três. No caso da Eq. (1.1) aparece de dimensão um. Assim, ma equação de ondas de dimensão três é, por definição, uma equação diferencial parcial da forma

sendo uma constante, o operador de Laplace tridimensional e uma função que depende de . Define-se analogamente equação de onda unidimensional, bidimensional ou de dimensão maior que três. A equação (1.1), interpretada como descrevendo as pequenas oscilações de uma corda, é um exemplo de equação de ondas de dimensão um. O termo denomina-se termo independente. Quando , a equação se diz homogênea. Denomina-se solução da equação de ondas em um aberto do a uma função definida em com valores reais tal que satisfaz a equação pontualmente em . Evidentemente, a mesma definição é valida para as equações de onda de dimensão diferente de três.

Obtida uma equação diferencial parcial descrevendo determinado fenômeno, surge o problema de saber se existe solução da equação e se essa solução é única. Outra questão levantada pelas aplicações é a que se denomina dependência contínua das condições iniciais, que consiste em saber se as soluções do problema variarão pouco quando os dados iniciais sofrerem pequenas modificações. No caso da corda, por exemplo, condições iniciais seriam a posição da corda no instante inicial . A dependência contínua seria, então, o problema de saber se, observadas duas posições iniciais e , assim como duas velocidades iniciais e , sendo próxima de e próxima de , resulta que a solução obtida de , e a solução decorrente de , são próximas. Com o objetivo de analisar a Eq. (1.2) sob o aspecto de existência, unicidade e dependência contínua, propõe-se o problema de Cauchy, ou problema de valores iniciais. Esse problema consiste em, conhecidas as funções , , para , satisfazendo as seguintes condições:
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Diz-se que o problema de Cauchy para (1.3), (1.4) e (1.5), é bem proposto ou corretamente proposto quando as seguintes condições são satisfeitas:


  1. existe solução;

  2. há unicidade de soluções;

  3. há dependência contínua dos dados iniciais e .


Para provar que o problema de Cauchy é bem proposto, usaremos certas hipóteses naturais sobre e . Tal método baseia-se em uma mudança de variáveis para simplificar a forma da equação. Com o objetivo de encontrar essa mudança, considere-se a função linear do no definida por

sendo .


Tem-se pela regra da cadeia:






Daí



Supondo-se , a equação em e se simplifica desde que . Assim, se for tomado

obter-se-á


por hipótese, e tem-se que

o que implica , uma vez que . Resulta que uma boa mudança de coordenadas é

sendo e números reais quaisquer, não nulos. Fazendo-se , conclui-se que a Eq. (1.2), nas coordenadas e , se escreve sob a forma

ou


que pode ser escrita como

.

Logo, , isto é,



ou ainda


sendo e funções de classe arbitrarias. A solução de D’Alembert escreve-se, então,


(1.6)

Utilizar-se-ão as condições iniciais para determinar as funções e , supondo-se de classe e de classe em . Obtém-se


ou

Resolvendo-se esse sistema, encontra-se



Portanto,





Substituindo-se na Eq. (1.6), vem
(1.7)
com de classe e de classe , que é conhecida como fórmula de D’Alembert.

Assim, mostra-se que a solução existe exibindo-se uma solução. Que a solução é única e também imediata, pois, se pensarmos em outra solução obtida com as mesmas condições iniciais e , então será igual ao segundo membro da Eq. (1.7), isto é .

Pode-se mostrar que a solução depende continuamente dos dados iniciais. Sejam , e , dois pares de dados iniciais, aos quais correspondem as soluções e . Da fórmula de D’Alembert obtém-se



Dado e fazendo-se , tem-se que

para todo x pertencente aos reais e 0 ≤ t ≤ T desde que

o que mostra ser contínua a dependência da solução em relação aos dados iniciais.
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